(1) 단계별 풀이 (10점): $x = 2$에서 연속이므로 $4 + 2a + b = 8 - 12 + 8 = 4 \implies 2a + b = 0$이다. 미분가능 조건에서 좌미분계수 $4 + a$와 우미분계수 $3(4) - 6(2) + 4 = 4$가 같으므로 $a = 0, b = 0$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): $x < 2$에서 $f(x) = x^2$이므로 꼭짓점의 좌표는 $(0, 0)$이다.
답: (1) $a = 0,\ b = 0$    (2) $(0, 0)$

(1) 단계별 풀이 (15점): $g(x) = x^2$이므로 $g(1) = 1, g'(1) = 2$이다. 따라서 접선의 방정식은 $y - 1 = 2(x - 1) \iff y = 2x - 1$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): $x^2 = x + 2 \iff (x - 2)(x + 1) = 0$에서 두 교점의 $x$좌표는 $-1, 2$이다. 따라서 둘러싸인 도형의 넓이는 $\dfrac{1}{6}(2 - (-1))^3 = \dfrac{27}{6} = \dfrac{9}{2}$이다.
답: (1) $y = 2x - 1$    (2) $\dfrac{9}{2}$

(1) 단계별 풀이 (10점): $a_7 - a_3 = 4d = 12 \implies d = 3$이고 $a_1 = 7 - 6 = 1$이므로 $a_n = 3n - 2$이다. 따라서 $S_{10} = \dfrac{10(1 + 28)}{2} = 145$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): $\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \dfrac{1}{3}\sum_{k=1}^{10}\left(\dfrac{1}{3k-2} - \dfrac{1}{3k+1}\right) = \dfrac{1}{3}\left(1 - \dfrac{1}{31}\right) = \dfrac{10}{31}$이다.
답: (1) $a_n = 3n - 2,\ S_{10} = 145$    (2) $\dfrac{10}{31}$

(1) 단계별 풀이 (15점): $T_n = \sum_{k=1}^n \{\log_2(k+2) - \log_2(k+1)\} = \log_2(n + 2) - \log_2 2 = \log_2(n + 2) - 1$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): $\log_2(n + 2) - 1 \ge 4 \iff \log_2(n + 2) \ge 5 \iff n + 2 \ge 32 \implies n \ge 30$이므로 자연수 $n$의 최솟값은 $30$이다.
답: (1) $T_n = \log_2(n+2) - 1$    (2) $30$