【실전모의고사 6회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 구간별 다항함수의 연속성과 미분가능성, 접선의 방정식과 넓이]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 11561 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-02-01]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능하려면 $x = a$에서 연속이고 좌미분계수와 우미분계수가 일치해야 한다.
나) 이차곡선 $y = px^2 + qx + r$와 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 두 교점의 $x$좌표가 $\alpha, \beta$일 때 $\dfrac{|p|}{6}(\beta - \alpha)^3$이다.
[문제 1-1] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & (x < 2) \\ x^3 - 3x^2 + 4x & (x \ge 2) \end{cases}$이 $x = 2$에서 미분가능할 때 답하시오.
(1) 상수 $a, b$의 값을 각각 구하시오. (10점)
(2) $x < 2$에서 곡선 $y = f(x)$의 꼭짓점의 좌표를 구하시오. (10점)
[문제 1-2] 위에서 구한 이차함수 $g(x) = x^2 + ax + b$에 대하여 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 곡선 $y = g(x)$ 위의 점 $(1, g(1))$에서의 접선의 방정식을 구하시오. (15점)
(2) 곡선 $y = g(x)$와 직선 $y = x + 2$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (15점)
【실전모의고사 6회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 등차수열과 등비수열의 부분합, 로그와 결합된 급수의 계산]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 11562 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-05]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열의 일반항은 $a_n = a + (n-1)d$이고 제$n$항까지의 합은 $S_n = \dfrac{n(a + a_n)}{2}$이다.
나) 로그의 성질에 의해 $\sum_{k=1}^n \log_2\left(1 + \dfrac{1}{k}\right) = \log_2(n + 1)$이다.
[문제 2-1] 등차수열 $\{a_n\}$에서 $a_3 = 7, a_7 = 19$일 때, 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$과 첫째항부터 제$10$항까지의 합 $S_{10}$을 구하시오. (10점)
(2) $\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}}$의 값을 구하시오. (10점)
[문제 2-2] 자연수 $n$에 대하여 수열 $b_n = \log_2\dfrac{n+2}{n+1}$일 때, 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $T_n = \sum_{k=1}^n b_k$를 $n$에 대한 식으로 나타내시오. (15점)
(2) 부등식 $T_n \ge 4$를 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오. (15점)