【모의고사 5회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 원 위의 점과 삼각함수 최대·최소, 이차·삼차함수의 정적분 항등식 (수학I, 수학II)]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11551 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12미적Ⅰ-03-04]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 원 \(x^2 + y^2 = r^2\) 밖의 점 \(\mathrm{P}(x_0, y_0)\)에서 원 위의 점 \(\mathrm{Q}\)까지의 거리의 최댓값은 \(\overline{\mathrm{OP}} + r\), 최솟값은 \(\overline{\mathrm{OP}} - r\)이다.
나) 우함수와 기함수의 정적분: \(f(-x) = f(x)\)이면 \(\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx\)이고, \(g(-x) = -g(x)\)이면 \(\int_{-a}^a g(x)\,dx = 0\)이다.
[문제 1-1] 좌표평면에서 원 \(C : (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4\) 위의 점 \(\mathrm{P}\)와 직선 \(l : 3x + 4y + 10 = 0\) 위의 두 점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)에 대하여 선분 \(\mathrm{AB} = 6\)일 때, 다음을 구하시오. (25점)
(1) 삼각형 \(\mathrm{PAB}\)의 넓이의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오. (12점)
(2) 원점 \(\mathrm{O}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{OP}}^2\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (13점)
[문제 1-2] 다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x)\)를 만족시키고 \(\int_{-1}^1 (x^2 + 3x + 2)f(x)\,dx = 16,\ \int_0^1 x^2 f(x)\,dx = 3\)일 때, 제시문 나)를 이용하여 \(\int_0^1 f(x)\,dx\)의 값을 구하시오. (25점)
(1) 기함수 성질을 이용하여 \(\int_{-1}^1 3x f(x)\,dx\)의 값을 구하시오. (10점)
(2) 우함수 성질을 이용하여 \(\int_0^1 f(x)\,dx\)의 값을 구하시오. (15점)
【모의고사 5회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 삼차함수의 비율 관계와 정적분 넓이 이등분, 등차·등비 융합 수열 (수학I, 수학II)]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11552 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12대수03-03]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 포물선 \(y = x(a - x)\) (\(a > 0\))와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(\dfrac{a^3}{6}\)이다.
나) 세 수 \(a, b, c\)가 이 순서대로 등차수열이면 \(2b = a + c\)이고, 등비수열이면 \(b^2 = ac\)이다.
[문제 2-1] 곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 \(y = mx\)가 이등분할 때, 제시문 가)를 이용하여 다음을 구하시오. (25점)
(1) 곡선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 전체 넓이를 구하시오. (10점)
(2) 넓이를 이등분하는 상수 \(m\)의 값을 구하시오. (15점)
[문제 2-2] 서로 다른 세 양수 \(a, b, c\)가 이 순서대로 등비수열을 이루고, 세 수 \(a, 2b, 3c\)가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 제시문 나)를 이용하여 다음을 구하시오. (25점)
(1) 등비수열의 공비 \(r\)의 값을 구하시오. (12점)
(2) \(a + b + c = 26\)일 때 \(a, b, c\)의 값을 각각 구하시오. (13점)