(1) \(f(x)\) 도출 (12점): \(|f(x) - 4|\)가 \(x = 0\)에서는 미분가능하고 \(x = 2\)에서만 미분불가능하므로 \(f(x) - 4\)는 \(x = 0\)을 중근으로, \(x = 2\)를 단근으로 갖는다 [7점].
따라서 \(f(x) - 4 = x^2(x - 2)\)에서 \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 4\)이다 [5점].
(2) 넓이 계산 (13점): 제시문 나)에 의해 넓이는 \(\dfrac{1}{12}(2 - 0)^4 = \dfrac{16}{12} = \dfrac{4}{3}\)이다 [13점].
답: (1) \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 4\)    (2) \(\dfrac{4}{3}\)

(1) \(y\)절편 도출 (12점): 접선은 \(y - a^2 = 2a(x - a) \implies y = 2ax - a^2\)이므로 \(y\)절편은 \(-a^2\)이다 [6점].
법선은 \(y - a^2 = -\dfrac{1}{2a}(x - a) \implies y = -\dfrac{1}{2a}x + a^2 + \dfrac{1}{2}\)이므로 \(y\)절편은 \(a^2 + \dfrac{1}{2}\)이다 [6점].
(2) 극한값 (13점): 삼각형의 밑변 길이는 \(\left(a^2 + \dfrac{1}{2}\right) - (-a^2) = 2a^2 + \dfrac{1}{2}\)이고 높이는 \(a\)이므로 \(S(a) = \dfrac{1}{2}a\left(2a^2 + \dfrac{1}{2}\right)\)이다. 따라서 \(\lim_{a \to 0+} \dfrac{S(a)}{a} = \dfrac{1}{4}\)이다 [13점].
답: (1) \(-a^2,\ a^2+\dfrac{1}{2}\)    (2) \(\dfrac{1}{4}\)

(1) 첫째 합 (12점): 두 근은 \(n, n+1\)이므로 \(\alpha_n\beta_n = n(n+1)\)이다. 따라서 \[ \sum_{n=1}^{20} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{21} = \frac{20}{21} \quad [12\text{점}] \] (2) 둘째 합 (13점): 유리화하면 \(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\)이므로 \(\sum_{n=1}^{15} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = \sqrt{16} - 1 = 3\)이다 [13점].
답: (1) \(\dfrac{20}{21}\)    (2) \(3\)

(1) 치환 (12점): 산술·기하평균에 의해 \(t = 2^x + 2^{-x} \ge 2\)이고, \(4^x + 4^{-x} = t^2 - 2\)이므로 \(h(t) = t^2 - 2at + 3 = (t - a)^2 + 3 - a^2\) (\(t \ge 2\))이다 [12점].
(2) \(g(1), g(3)\) 계산 (13점): \(a = 1 < 2\)일 때는 \(t = 2\)에서 최소이므로 \(g(1) = h(2) = 4 - 4 + 3 = 3\)이다 [6점].
\(a = 3 \ge 2\)일 때는 꼭짓점 \(t = 3\)에서 최소이므로 \(g(3) = h(3) = 3 - 9 = -6\)이다 [7점].
답: (1) \(t \ge 2,\ h(t) = t^2 - 2at + 3\)    (2) \(g(1) = 3,\ g(3) = -6\)