【실전모의고사 4회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 절댓값 함수의 미분가능성, 다항함수 정적분과 최소 넓이 (수학II)]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11541 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-05]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(|f(x)|\)가 \(x = \alpha\) (\(f(\alpha)=0\))에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 \(f'(\alpha) = 0\)이다.
나) 삼차함수 \(f(x) = a(x-\alpha)^2(x-\beta)\)의 그래프와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(\dfrac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4\)이다.
[문제 1-1] 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x) = |f(x) - 4|\)는 \(x = 2\)에서만 미분가능하지 않고, \(f(0) = 4,\ f'(0) = 0\)일 때 제시문 가), 나)를 이용하여 다음을 구하시오. (25점)
(1) 삼차함수 \(f(x)\)의 식을 구하시오. (12점)
(2) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = 4\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (13점)
[문제 1-2] 포물선 \(y = x^2\) 위의 점 \(\mathrm{A}(a, a^2)\) (\(a > 0\))에서의 접선과 법선 및 \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 \(S(a)\)라 할 때, 다음을 구하시오. (25점)
(1) 접선과 법선의 \(y\)절편을 각각 \(a\)에 대한 식으로 나타내시오. (12점)
(2) \(\lim_{a \to 0+} \dfrac{S(a)}{a}\)의 값을 구하시오. (13점)
【실전모의고사 4회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 원소의 합과 부분집합 수열, 지수함수의 최댓값·최솟값 (수학, 수학I)]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 11542 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수01-06]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 부분분수 분해: \(\dfrac{1}{AB} = \dfrac{1}{B - A}\left(\dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B}\right)\) (단, \(A \ne B\))이다.
나) 산술평균과 기하평균의 관계: \(a > 0, b > 0\)일 때 \(a + b \ge 2\sqrt{ab}\) (등호는 \(a = b\)일 때 성립)이다.
[문제 2-1] 자연수 \(n\)에 대하여 이차방정식 \(x^2 - (2n+1)x + n(n+1) = 0\)의 두 근을 \(\alpha_n, \beta_n\)이라 할 때, 제시문 가)를 이용하여 다음을 구하시오. (25점)
(1) \(\sum_{n=1}^{20} \dfrac{1}{\alpha_n \beta_n}\)의 값을 구하시오. (12점)
(2) \(\sum_{n=1}^{15} \dfrac{1}{\sqrt{\alpha_n} + \sqrt{\beta_n}}\)의 값을 구하시오. (13점)
[문제 2-2] 실수 \(x\)에 대하여 함수 \(f(x) = 4^x + 4^{-x} - 2a(2^x + 2^{-x}) + 5\)의 최솟값을 \(g(a)\)라 할 때, 제시문 나)를 이용하여 다음을 구하시오. (25점)
(1) \(t = 2^x + 2^{-x}\)라 할 때 \(t\)의 값의 범위를 구하고, \(f(x)\)를 \(t\)에 대한 이차함수로 나타내시오. (12점)
(2) \(a = 1\)일 때와 \(a = 3\)일 때의 최솟값 \(g(1), g(3)\)을 각각 구하시오. (13점)