(1) \(k\)에 대한 방정식 (10점): 접점 \((t, t^3 - 3t)\)에서의 접선은 \(y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)\)이다. 점 \((1, k)\)를 대입하면 \[ k = -2t^3 + 3t^2 - 3 \quad [10\text{점}] \] (2) 세 실근 범위 (15점): \(h(t) = -2t^3 + 3t^2 - 3\)이라 하면 \(h'(t) = -6t(t - 1) = 0\)에서 \(t = 0\)일 때 극솟값 \(h(0) = -3\), \(t = 1\)일 때 극댓값 \(h(1) = -2\)를 갖는다 [8점].
따라서 서로 다른 세 접선을 그을 수 있는 \(k\)의 범위는 \(-3 < k < -2\)이다 [7점].
답: (1) \(k = -2t^3 + 3t^2 - 3\)    (2) \(-3 < k < -2\)

(1) 방향 전환 시각 및 위치 (12점): \(v(t) = (t-1)(t-3) = 0\)에서 \(t = 1, 3\)일 때 운동 방향을 바꾼다 [4점].
위치 함수 \(x(t) = \dfrac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 3t\)에서 \(x(1) = \dfrac{4}{3},\ x(3) = 0\)이다 [8점].
(2) 움직인 거리 (13점): \(\int_0^4 |v(t)|\,dt = \int_0^1 v(t)dt - \int_1^3 v(t)dt + \int_3^4 v(t)dt = \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = 4\)이다 [13점].
답: (1) \(t=1\)일 때 \(\dfrac{4}{3}\), \(t=3\)일 때 \(0\)    (2) \(4\)

(1) \(S_1, S_2, S_3\) 계산 (12점): \(n = 1\)일 때 \(S_1 = \dfrac{1}{2}(S_1 + 1/S_1) \implies S_1^2 = 1 \implies S_1 = 1\)이다 [4점].
\(n \ge 2\)에서 \(2S_n = (S_n - S_{n-1}) + \dfrac{1}{S_n - S_{n-1}} \implies S_n^2 - S_{n-1}^2 = 1\)이므로 \(S_2 = \sqrt{2},\ S_3 = \sqrt{3}\)이며 \(S_n = \sqrt{n}\)으로 추측된다 [8점].
(2) 일반항 유도 (13점): \(S_n + S_{n-1} = \dfrac{1}{S_n - S_{n-1}} \implies S_n^2 - S_{n-1}^2 = 1\)이므로 수열 \(\{S_n^2\}\)은 첫째항이 \(1\), 공차가 \(1\)인 등차수열이다. 따라서 \(S_n^2 = n\)이고 \(S_n > 0\)이므로 \(S_n = \sqrt{n}\)이다 [13점].
답: (1) \(S_1=1,\ S_2=\sqrt{2},\ S_3=\sqrt{3}\)    (2) \(S_n^2 - S_{n-1}^2 = 1\)로부터 \(S_n = \sqrt{n}\)

(1) 대칭성을 이용한 합 (12점): \(x_1, x_2\)는 \(x = \dfrac{1}{2}\)에 대칭이므로 \(x_1 + x_2 = 1\)이고, \(x_3, x_4\)는 \(x = \dfrac{5}{2}\)에 대칭이므로 \(x_3 + x_4 = 5\)이다. 따라서 총합은 \(1 + 5 = 6\)이다 [12점].
(2) 삼각함수 계산 (13점): 주기가 \(2\)이므로 \(x_3 = x_1 + 2\)이고 \(\cos\{\pi(2x_1 + 2)\} = \cos(2\pi x_1) = 1 - 2\sin^2(\pi x_1) = 1 - \dfrac{2}{9} = \dfrac{7}{9}\)이다 [7점].
또한 \(x_2 = 1 - x_1\)이므로 \(\sin\{\pi(1 - 2x_1)\} = \sin(2\pi x_1) = 2\sin(\pi x_1)\cos(\pi x_1) = 2\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2\sqrt{2}}{3} = \dfrac{4\sqrt{2}}{9}\)이다 [6점].
답: (1) \(6\)    (2) \(\dfrac{7}{9},\ \dfrac{4\sqrt{2}}{9}\)