【실전모의고사 3회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 삼차함수의 접선의 개수, 속도와 거리의 정적분 (수학II)]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 11531 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-06]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 점 \((a, b)\)에서 곡선 \(y = f(x)\)에 그은 접선의 개수는 방정식 \(b - f(t) = f'(t)(a - t)\)의 서로 다른 실근 \(t\)의 개수와 같다.
나) 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\)에서의 속도가 \(v(t)\)일 때, 시각 \(t = a\)에서 \(t = b\)까지 점 \(\mathrm{P}\)의 위치의 변화량은 \(\int_a^b v(t)\,dt\)이고 움직인 거리는 \(\int_a^b |v(t)|\,dt\)이다.
[문제 1-1] 곡선 \(y = x^3 - 3x\) 밖의 점 \(\mathrm{P}(1, k)\)에서 이 곡선에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 제시문 가)를 이용하여 구하시오. (25점)
(1) 접점의 \(x\)좌표를 \(t\)라 할 때 \(k\)를 \(t\)에 대한 삼차식으로 나타내시오. (10점)
(2) 삼차함수의 극댓값과 극솟값을 이용하여 \(k\)의 범위를 구하시오. (15점)
[문제 1-2] 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\) (\(0 \le t \le 4\))에서의 속도가 \(v(t) = t^2 - 4t + 3\)일 때, 제시문 나)를 이용하여 다음을 구하시오. (25점)
(1) 점 \(\mathrm{P}\)가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각과 그때의 위치를 각각 구하시오. (12점)
(2) 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리를 구하시오. (13점)
【실전모의고사 3회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 수학적 귀납법과 수열의 합, 삼각방정식과 근의 합 (수학I)]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 11532 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수02-02]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, \(n \ge 2\)에서 \(a_n = S_n - S_{n-1}\)이고 \(a_1 = S_1\)이다.
나) 함수 \(y = \sin(\pi x)\)의 주기는 \(2\)이고 직선 \(x = k + \dfrac{1}{2}\) (\(k\)는 정수)에 대하여 대칭이다.
[문제 2-1] 모든항이 양수인 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n\)이 \(S_n = \dfrac{1}{2}\left(a_n + \dfrac{1}{a_n}\right)\)을 만족시킬 때, 제시문 가)를 이용하여 다음을 구하시오. (25점)
(1) \(S_1, S_2, S_3\)의 값을 각각 구하고 일반항 \(S_n\)을 추측하시오. (12점)
(2) \(a_n = S_n - S_{n-1}\)을 이용하여 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(S_n = \sqrt{n}\)임을 증명하시오. (13점)
[문제 2-2] 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \sin(\pi x)\)의 그래프와 직선 \(y = \dfrac{1}{3}\)이 만나는 모든 교점의 \(x\)좌표를 작은 것부터 차례로 \(x_1, x_2, x_3, x_4\)라 할 때, 제시문 나)를 이용하여 다음을 구하시오. (25점)
(1) \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4\)의 값을 구하시오. (12점)
(2) \(\cos\{\pi(x_1 + x_3)\}\)와 \(\sin\{\pi(x_2 - x_1)\}\)의 값을 각각 구하시오. (13점)