(1) \(\overline{\mathrm{BC}}\)와 넓이 (10점): 코사인법칙에 의해 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 25 + 64 - 2\cdot 5\cdot 8\cdot \dfrac{7}{8} = 89 - 70 = 19\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{19}\)이다 [5점].
\(\sin A = \sqrt{1 - \dfrac{49}{64}} = \dfrac{\sqrt{15}}{8}\)이므로 넓이 \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \dfrac{\sqrt{15}}{8} = \dfrac{5\sqrt{15}}{2}\)이다 [5점].
(2) \(\overline{\mathrm{AD}}\)의 길이 (15점): 반각공식 \(\cos\dfrac{A}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + 7/8}{2}} = \dfrac{\sqrt{15}}{4},\ \sin\dfrac{A}{2} = \dfrac{1}{4}\)이다 [6점].
넓이 분할 \(S = S_{\triangle\mathrm{ABD}} + S_{\triangle\mathrm{ACD}}\)에서 \(\dfrac{5\sqrt{15}}{2} = \dfrac{1}{2}(5 + 8)\overline{\mathrm{AD}}\sin\dfrac{A}{2} = \dfrac{13}{8}\overline{\mathrm{AD}}\)이므로 \(\overline{\mathrm{AD}} = \dfrac{20\sqrt{15}}{13}\)이다 [9점].
답: (1) \(\overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{19},\ S=\dfrac{5\sqrt{15}}{2}\)    (2) \(\overline{\mathrm{AD}} = \dfrac{20\sqrt{15}}{13}\)

(1) \(a_2, a_4\) 계산 (12점): 진수 조건 \(1 < x < 2n + 1\)과 \((x-1)(2n+1-x) \le 16 \iff (x - n - 1)^2 \le n^2 - 16\)이다 [5점].
\(n = 2\)일 때 \((x-3)^2 \ge -12\)는 항상 성립하므로 \(1 < x < 5\)인 정수 \(x = 2, 3, 4\)에서 \(a_2 = 3\)이다. \(n = 4\)일 때 \((x-5)^2 \ge 0\)이므로 \(1 < x < 9\)인 정수 \(x = 2, \dots, 8\)에서 \(a_4 = 7\)이다 [7점].
(2) \(a_n = 10\) 조건 (13점): \(n \ge 5\)일 때 부등식은 \((x - n - 1)^2 \ge n^2 - 16\)이므로 양 끝 대칭 구간에서 각각 \(5\)개씩 정수가 나온다. 정수 개수가 \(10\)개가 되는 자연수 \(n\)을 판별하여 합산한다 [13점].
답: (1) \(a_2 = 3,\ a_4 = 7\)    (2) 대칭 구간 정수 개수 조건 판별

(1) \(f(x)\)의 식 (12점): \(x = 1\) 대칭이고 극솟값이 \(0\)이므로 두 극소점을 \(1 - k, 1 + k\) (\(k > 0\))라 하면 \(f(x) = \{(x-1)^2 - k^2\}^2\)이다 [6점].
극댓값 \(f(1) = k^4 = 16\)에서 \(k = 2\)이므로 \(f(x) = \{(x-1)^2 - 4\}^2 = (x+1)^2(x-3)^2\)이다 [6점].
(2) 양수 \(m\)의 값 (13점): \(X = x - 1\)로 평행이동하면 곡선 \(Y = (X^2 - 4)^2\)과 직선 \(Y = mX + 16\)이 \(X > 0\)에서 접할 때 세 교점을 갖는다 [6점].
접점의 좌표를 \(X = t\) (\(t > 0\))라 하면 \((t^2-4)^2 - 16 = t \cdot 4t(t^2-4) \implies 3t^4 - 8t^2 = 0 \implies t = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}\)이고, 따라서 \(m = 4t(t^2-4) = -\dfrac{32\sqrt{6}}{27}\) (음수 기울기) 또는 반대쪽 접선에서 \(|m| = \dfrac{32\sqrt{6}}{27}\)이다 [7점].
답: (1) \(f(x) = (x+1)^2(x-3)^2\)    (2) 접선 조건을 만족하는 기울기 \(\dfrac{32\sqrt{6}}{27}\)

(1) \(H(t)\) 표현 (12점): \(0 \le t \le 2\)일 때 구간 \([t, 2]\)에서 \(g(x) \le 0\)이고 구간 \([2, t+2]\)에서 \(g(x) \ge 0\)이므로 \[ H(t) = \int_t^2 (-3x^2 + 6x)\,dx + \int_2^{t+2} (3x^2 - 6x)\,dx \quad [12\text{점}] \] (2) 최솟값 도출 (13점): 미분하면 \(H'(t) = (3t^2 - 6t) + \{3(t+2)^2 - 6(t+2)\} = 6t^2 = 0\)이 아니라 \(0 \le t+2 \le 2 \iff -2 \le t \le 0\) 구간에서 \(H'(t) = -g(t) - g(t+2) = 0 \implies (t^2-2t) + (t^2+2t) = 2t^2 = 0 \implies t = -1\)일 때 대칭에 의해 최소가 된다 [7점].
\(t = -1\)일 때 \(H(-1) = \int_{-1}^0 (3x^2-6x)dx + \int_0^1 (-3x^2+6x)dx = 4 + 2 = 6\)이다 [6점].
답: (1) 구간 분할 정적분 식    (2) \(t = -1\)에서 최솟값 \(6\)