【실전모의고사 2회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 사인법칙과 코사인법칙, 지수·로그방정식과 정수 격자점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 11521 변형 | 성취기준: 12대수02-03, 12대수01-06]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름을 \(R\)이라 할 때 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)이 성립한다.
나) 로그의 밑 변환 공식: \(a > 0, a \ne 1, b > 0, c > 0, c \ne 1\)일 때 \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)이다.
[문제 1-1] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 5,\ \overline{\mathrm{AC}} = 8\)이고 \(\cos A = \dfrac{7}{8}\)일 때, 제시문 가)를 이용하여 다음을 구하시오.
(1) 변 \(\mathrm{BC}\)의 길이와 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이를 구하시오. (10점)
(2) 각 \(A\)의 이등분선이 변 \(\mathrm{BC}\)와 만나는 점을 \(\mathrm{D}\)라 할 때, 선분 \(\mathrm{AD}\)의 길이를 구하시오. (15점)
[문제 1-2] 자연수 \(n\)에 대하여 부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(2n + 1 - x) \le 4\)를 만족시키는 정수 \(x\)의 개수를 \(a_n\)이라 할 때, 다음을 구하시오.
(1) \(a_2\)와 \(a_4\)의 값을 각각 구하시오. (12점)
(2) \(a_n = 10\)을 만족시키는 모든 자연수 \(n\)의 값의 합을 구하시오. (13점)
【실전모의고사 2회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 사차함수의 대칭성과 극값, 정적분으로 정의된 함수의 최소 (수학II)]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11522 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(f(x)\)가 직선 \(x = m\)에 대하여 대칭이면 \(f(m - x) = f(m + x)\)가 성립한다.
나) 미분가능한 함수 \(F(x) = \int_a^x (t - \alpha)(t - \beta)\,dt\)는 \(x = \alpha, \beta\)에서 극값을 갖는다.
[문제 2-1] 최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(1 - x) = f(1 + x)\)를 만족시키고, 극댓값 \(16\), 극솟값 \(0\)을 가질 때 다음을 구하시오.
(1) 사차함수 \(f(x)\)의 식을 구하시오. (12점)
(2) 점 \((1, 16)\)을 지나는 직선 \(y = mx + 16 - m\)이 곡선 \(y = f(x)\)와 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 양수 \(m\)의 값을 구하시오. (13점)
[문제 2-2] 이차함수 \(g(x) = 3x^2 - 6x\)에 대하여 실수 \(t\)의 함수 \(H(t) = \int_t^{t+2} |g(x)|\,dx\)가 최소가 되는 \(t\)의 값과 그때의 최솟값을 구하시오. (25점)
(1) \(0 \le t \le 2\)일 때 \(H(t)\)를 \(t\)에 대한 다항식으로 나타내시오. (12점)
(2) \(H'(t) = 0\)을 이용하여 \(H(t)\)의 최솟값을 구하시오. (13점)