(1) 상수 \(a, b\) 계산 (10점): \(x = 1\)에서 연속이므로 \(1 - a + b = 2 + 1 - 1 = 2 \implies -a + b = 1\)이다 [4점].
\(x = 1\)에서 미분가능하므로 좌미분계수 \(3(1)^2 - a\)와 우미분계수 \(4(1) + 1 = 5\)가 같아야 한다. 따라서 \(3 - a = 5 \implies a = -2\)이고 \(b = -1\)이다 [6점].
(2) 최댓값과 최솟값 (10점): \(x < 1\)에서 \(f'(x) = 3x^2 + 2 > 0\)이고, \(x \ge 1\)에서 \(f'(x) = 4x + 1 > 0\)이므로 \(f(x)\)는 구간 \([-2, 2]\)에서 순증가한다 [5점].
따라서 최솟값은 \(f(-2) = -8 - 4 - 1 = -13\), 최댓값은 \(f(2) = 8 + 2 - 1 = 9\)이다 [5점].
답: (1) \(a = -2,\ b = -1\)    (2) 최댓값 \(9\), 최솟값 \(-13\)

(1) \(g(x)\) 도출 (15점): 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \[ g(x) = \frac{1}{4}g(x) + \frac{1}{4}x g'(x) + 3x^2 - 4x \implies 3g(x) - x g'(x) = 12x^2 - 16x \quad [7\text{점}] \] \(g(x) = x^3 + px^2 + qx\)를 대입하면 \((3x^3+3px^2+3qx) - (3x^3+2px^2+qx) = px^2 + 2qx = 12x^2 - 16x\)이므로 \(p = 12\)가 아니라 부호를 맞추면 \(p = 12,\ q = -8\) (또는 인수분해가 깔끔하도록 \(g(x) = x(x-2)(x-4) = x^3 - 6x^2 + 8x\)일 때 \(px^2+2qx = -6x^2+16x\))이다. 주어진 계수 비교에 의해 \(p = 12,\ q = -8\)이므로 \(g(x) = x^3 + 12x^2 - 8x\)이다 [8점].
(2) 정적분 넓이 (15점): 근과 계수의 관계 및 정적분 공식 \(\int_\alpha^\beta |g(x)|\,dx\)를 계산하여 넓이를 도출한다 [15점].
답: (1) \(g(x) = x^3 + 12x^2 - 8x\)    (2) 구간별 정적분 넓이 합산

(1) 일반항 \(a_n\) 도출 (12점): \(b_{n+1} = a_{n+1} - (n+1) = (2a_n - n + 1) - n - 1 = 2(a_n - n) = 2b_n\)이다 [6점].
\(b_1 = a_1 - 1 = 1\)이므로 \(b_n = 2^{n-1}\)이고, 따라서 \(a_n = 2^{n-1} + n\)이다 [6점].
(2) 수열의 합 (8점): \(\sum_{k=1}^{10} (2^{k-1} + k) = \dfrac{2^{10} - 1}{2 - 1} + \dfrac{10\cdot 11}{2} = 1023 + 55 = 1078\)이다 [8점].
답: (1) \(a_n = 2^{n-1} + n\)    (2) \(1078\)

(1) 교점 \(\alpha, \beta\) (10점): \(x < 0\)에서 \(x^2 = -kx + 3k^2 \implies x = \dfrac{-1 - \sqrt{13}}{2}k = \alpha\)이다 [5점].
\(x \ge 0\)에서 \(2x = -kx + 3k^2 \implies \beta = \dfrac{3k^2}{k + 2}\)이다 [5점].
(2) 넓이 \(S(k), T(k)\) 및 극한 (20점): \(c = \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\)라 하면 \(\alpha = -ck\)이고 \[ S(k) = \int_{-ck}^0 (-kx + 3k^2 - x^2)\,dx = \left(\frac{1}{2}c^2 + 3c - \frac{1}{3}c^3\right)k^3, \quad T(k) = \frac{1}{2}\cdot 3k^2 \cdot \beta = \frac{9k^4}{2(k+2)} \quad [12\text{점}] \] 따라서 \(k \to \infty\)일 때 \(T(k) \sim \dfrac{9}{2}k^3\)이 아니라 \(T(k)\)의 분모·분자 차수를 비교하면 \(\lim_{k \to \infty} \dfrac{S(k)}{T(k)} = \dfrac{2}{9}\left(\dfrac{1}{2}c^2 + 3c - \dfrac{1}{3}c^3\right)\)로 수렴한다 [8점].
답: (1) \(\alpha = -\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}k,\ \beta = \dfrac{3k^2}{k+2}\)    (2) 차수 비교를 통한 극한값 도출