【실전모의고사 1회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 다항함수의 연속성과 미분가능성, 삼차·사차함수의 극값과 정적분]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11511 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-02-07]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 미분가능하면 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 연속이며, 좌미분계수와 우미분계수가 일치한다.
나) 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 정적분으로 정의된 함수 \(F(x) = \int_a^x f(t)\,dt\)의 도함수는 \(F'(x) = f(x)\)이다.
[문제 1-1] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} x^3 - ax + b & (x < 1) \\ 2x^2 + x - 1 & (x \ge 1) \end{cases}\) 이 \(x = 1\)에서 미분가능할 때, 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오. (10점)
(2) 닫힌구간 \([-2, 2]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (10점)
[문제 1-2] 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(g(x)\)가 \(g(0) = 0\)이고, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_0^x g(t)\,dt = \dfrac{1}{4}x g(x) + x^3 - 2x^2\)을 만족시킬 때, 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 삼차함수 \(g(x)\)의 식을 구하시오. (15점)
(2) 곡선 \(y = g(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (15점)
【실전모의고사 1회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 수열의 귀납적 정의와 군수열/등차·등비수열, 조각함수의 넓이 극한 (수학I, 수학II)]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 11512 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12미적Ⅰ-03-05]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 첫째항이 \(a\), 공차가 \(d\)인 등차수열의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합은 \(S_n = \dfrac{n\{2a + (n-1)d\}}{2}\)이고, \(\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)이다.
나) 포물선 \(y = ax^2 + bx + c\)와 직선 \(y = mx + n\)의 두 교점의 \(x\)좌표가 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha < \beta\))일 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3\)이다.
[문제 2-1] 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = 2a_n - n + 1\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) \(b_n = a_n - n\)이라 할 때, 수열 \(\{b_n\}\)이 등비수열임을 보이고 일반항 \(a_n\)을 구하시오. (12점)
(2) 합 \(\sum_{k=1}^{10} a_k\)의 값을 구하시오. (8점)
[문제 2-2] 양수 \(k\)에 대하여 함수 \(f(x) = \begin{cases} 2x & (x \ge 0) \\ x^2 & (x < 0) \end{cases}\) 의 그래프와 직선 \(g(x) = -kx + 3k^2\)으로 둘러싸인 영역이 \(y\)축에 의해 왼쪽 영역 \(A_k\)와 오른쪽 영역 \(B_k\)로 나뉠 때, 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 두 교점의 \(x\)좌표 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha < 0 < \beta\))를 \(k\)에 대한 식으로 나타내시오. (10점)
(2) 영역 \(A_k\)의 넓이 \(S(k)\)와 영역 \(B_k\)의 넓이 \(T(k)\)를 각각 구하고, \(\lim_{k \to \infty} \dfrac{S(k)}{k \cdot T(k)}\)의 값을 구하시오. (20점)