(1) 단계별 풀이 (10점): $3$의 배수가 나오는 횟수를 $X$라 하면 총점은 $2X - (4 - X) = 3X - 4 = 5 \implies X = 3$이다. 따라서 확률은 ${}_4\mathrm{C}_3 \left(\dfrac{1}{3}\right)^3\left(\dfrac{2}{3}\right)^1 = \dfrac{8}{81}$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): 총점이 $2$점 이상이려면 $3X - 4 \ge 2 \implies X \ge 2$이다. $\mathrm{P}(X \ge 2) = {}_4\mathrm{C}_2\dfrac{4}{81} + {}_4\mathrm{C}_3\dfrac{2}{81} + {}_4\mathrm{C}_4\dfrac{1}{81} = \dfrac{33}{81}$이고, 첫 시행 성공 교집합은 나머지 $3$회에서 $1$회 이상 성공이므로 $\dfrac{1}{3}\left(1 - \dfrac{8}{27}\right) = \dfrac{19}{81}$이다. 따라서 조건부확률은 $\dfrac{19}{33}$이다.
답: (1) $\dfrac{8}{81}$    (2) $\dfrac{19}{33}$

(1) 단계별 풀이 (15점): 표본비율은 $\hat{p} = \dfrac{80}{400} = 0.2$이고, 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{0.2 \times 0.8}{400}} = \sqrt{\dfrac{0.16}{400}} = \dfrac{0.4}{20} = 0.02$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): 신뢰구간의 길이는 $b - a = 2 \times 1.96 \times 0.02 = 0.0784$이다.
답: (1) $\hat{p} = 0.2$, 표준오차 $0.02$    (2) $b - a = 0.0784$

(1) 단계별 풀이 (10점): $y' = 3x^2 - 6x$에서 $x = 0$일 때 기울기는 $0$이므로 접선의 방정식은 $y = 4$이다. $x^3 - 3x^2 + 4 = 4 \iff x^2(x - 3) = 0$이므로 다시 만나는 점은 $\mathrm{B}(3, 4)$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): 제시문 가)의 넓이 공식에 의해 둘러싸인 넓이는 $S = \dfrac{1}{12}(3 - 0)^4 = \dfrac{81}{12} = \dfrac{27}{4}$이다.
답: (1) 접선 $y = 4$, $\mathrm{B}(3, 4)$    (2) $\dfrac{27}{4}$

(1) 단계별 풀이 (15점): $F(x) = \Big[\dfrac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 3t\Big]_1^x = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x - \dfrac{4}{3}$이다. $F'(x) = (x - 1)(x - 3) = 0$에서 극댓값은 $F(1) = 0$, 극솟값은 $F(3) = -\dfrac{4}{3}$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): $F(x) = \dfrac{1}{3}(x - 1)^2(x - 4) = 0$의 서로 다른 실근은 $x = 1, 4$이므로 모든 실근의 합은 $1 + 4 = 5$이다.
답: (1) 극댓값 $0$, 극솟값 $-\dfrac{4}{3}$    (2) $5$