【실전모의고사 10회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 조건부확률과 독립시행의 확률, 모비율의 신뢰구간 추정 (2022 개정 반영)]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.12 탐구 11601 변형 | 성취기준: 12확통02-03, 12확통03-06]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$인 시행을 $n$번 독립적으로 반복할 때 사건 $A$가 $r$번 일어날 확률은 ${}_n\mathrm{C}_r p^r(1-p)^{n-r}$이다.
나) 크기가 $n$인 표본에서 표본비율이 $\hat{p}$일 때, 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간은 $\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$이다.
[문제 1-1] 한 개의 주사위를 던져 $3$의 배수의 눈이 나오면 $2$점을 얻고, 그 외의 눈이 나오면 $1$점을 잃는 게임을 $4$회 독립적으로 시행할 때 답하시오.
(1) $4$회 시행 후 얻은 총점이 $5$점일 확률을 구하시오. (10점)
(2) $4$회 시행 후 총점이 $2$점 이상일 때, 첫 번째 시행에서 $3$의 배수의 눈이 나왔을 조건부확률을 구하시오. (10점)
[문제 1-2] 어느 공장에서 생산되는 부품 중 임의로 추출한 $400$개를 조사하였더니 불량품이 $80$개였다. 제시문 나)를 이용하여 답하시오. (단, $\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95$)
(1) 불량률의 표본비율 $\hat{p}$와 표준오차 $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$의 값을 각각 구하시오. (15점)
(2) 이 공장 전체 부품의 불량률 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간 $[a, b]$에 대하여 $b - a$의 값을 구하시오. (15점)
【실전모의고사 10회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 정적분으로 정의된 함수의 극값, 접선과 삼차곡선으로 둘러싸인 넓이 공식]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11602 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 최고차항의 계수가 $a$인 삼차함수 $y = f(x)$ 위의 점 $(\alpha, f(\alpha))$에서의 접선이 곡선과 점 $(\beta, f(\beta))$에서 다시 만날 때, 둘러싸인 넓이는 $\dfrac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4$이다.
나) 정적분으로 정의된 함수 $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$의 도함수는 $F'(x) = f(x)$이다.
[문제 2-1] 곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 4$ 위의 점 $\mathrm{A}(0, 4)$에서의 접선이 이 곡선과 다시 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 할 때, 제시문 가)를 이용하여 답하시오.
(1) 점 $\mathrm{A}$에서의 접선의 방정식과 점 $\mathrm{B}$의 좌표를 구하시오. (10점)
(2) 곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 4$와 이 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (10점)
[문제 2-2] 이차함수 $f(t) = t^2 - 4t + 3$에 대하여 함수 $F(x) = \int_1^x f(t)\,dt$가 있다. 제시문 나)를 이용하여 답하시오.
(1) 함수 $F(x)$의 식을 구하고 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오. (15점)
(2) 방정식 $F(x) = 0$의 모든 실근의 합을 구하시오. (15점)