【실전모의고사 9회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 타원의 정의와 초점 삼각형 기하, 코사인법칙을 이용한 내각과 넓이]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.9 탐구 11091 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}'(-c, 0)$으로부터의 거리의 합이 $2a$ ($a > c > 0$)인 타원의 방정식은 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ($b^2 = a^2 - c^2$)이다.
나) 삼각형 $\mathrm{PF'F}$에서 $\overline{\mathrm{PF}} = r_1, \overline{\mathrm{PF}'} = r_2, \angle\mathrm{F'PF} = \theta$일 때, 코사인법칙에 의해 $(2c)^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1 r_2\cos\theta$이다.
[문제 1-1] 타원 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$의 두 초점을 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}'(-c, 0)$ ($c > 0$)이라 하고, 타원 위의 점 $\mathrm{P}$가 $\angle\mathrm{F'PF} = \dfrac{\pi}{3}$를 만족시킬 때 답하시오.
(1) 양수 $c$의 값과 $\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF}'}$의 값을 각각 구하시오. (10점)
(2) 제시문 나)를 이용하여 $\overline{\mathrm{PF}} \cdot \overline{\mathrm{PF}'}$의 값과 삼각형 $\mathrm{PF'F}$의 넓이를 구하시오. (10점)
[문제 1-2] 타원 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{7} = 1$ 위의 점 $\mathrm{Q}$와 두 초점 $\mathrm{F}_1, \mathrm{F}_2$에 대하여 $\overline{\mathrm{QF}_1} : \overline{\mathrm{QF}_2} = 5 : 3$일 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) $\overline{\mathrm{QF}_1}, \overline{\mathrm{QF}_2}$의 길이와 초점 사이의 거리 $\overline{\mathrm{F}_1\mathrm{F}_2}$를 구하시오. (15점)
(2) $\cos(\angle\mathrm{F}_1\mathrm{QF}_2)$의 값과 점 $\mathrm{Q}$에서 선분 $\mathrm{F}_1\mathrm{F}_2$에 내린 수선의 길이를 구하시오. (15점)
【실전모의고사 9회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 사차함수의 대칭성과 극값, 정적분으로 정의된 함수의 극대와 극소]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11092 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 사차함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$가 세 실근 $\alpha, \beta, \gamma$ ($\alpha < \beta < \gamma$)를 가지면 $f(x)$는 $x = \alpha, \gamma$에서 극소이고 $x = \beta$에서 극대이다.
나) 미분가능한 함수 $g(x)$에 대하여 $G(x) = \int_a^x g(t)\,dt$라 하면 $G'(x) = g(x)$이다.
[문제 2-1] 사차함수 $f(x) = x^4 - 8x^2 + 16$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하시오. (10점)
(2) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = 16$으로 둘러싸인 두 영역의 넓이의 합을 구하시오. (10점)
[문제 2-2] 이차함수 $g(t) = 3t^2 - 12t + 9$에 대하여 정적분으로 정의된 함수 $G(x) = \int_0^x g(t)\,dt$가 있다. 제시문 나)를 이용하여 답하시오.
(1) 함수 $G(x)$의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오. (15점)
(2) 닫힌구간 $[0, 4]$에서 함수 $|G(x) - 2|$의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (15점)