(1) 단계별 풀이 (10점): $y^2 = 8x = 4 \cdot 2x$이므로 초점은 $\mathrm{F}(2, 0)$이다. $\overline{\mathrm{PF}} = a + 2 = 6$에서 $a = 4$이고, $b^2 = 32$ ($b > 0$)에서 $b = 4\sqrt{2}$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): 접선의 방정식은 $4\sqrt{2}y = 4(x + 4) \iff \sqrt{2}y = x + 4$이다. 따라서 $\mathrm{Q}(-4, 0), \mathrm{R}(0, 2\sqrt{2})$이므로 삼각형 $\mathrm{OQR}$의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$이다.
답: (1) $a = 4,\ b = 4\sqrt{2}$    (2) $4\sqrt{2}$

(1) 단계별 풀이 (15점): 점 $\mathrm{A}(t^2, 2t)$에서의 접선은 $2ty = 2(x + t^2) \iff y = \dfrac{1}{t}x + t$이므로 접선의 기울기는 $\dfrac{1}{t}$이다. 따라서 법선의 기울기는 $-t$이고 법선의 방정식은 $y - 2t = -t(x - t^2) \iff y = -tx + t^3 + 2t$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): $t > 0$이므로 산술·기하평균 부등식에 의해 $t^2 + \dfrac{4}{t^2} \ge 2\sqrt{t^2 \cdot \dfrac{4}{t^2}} = 4$이다. 등호는 $t^2 = \dfrac{4}{t^2} \implies t = \sqrt{2}$일 때 성립하며 최솟값은 $4$이다.
답: (1) 기울기 $\dfrac{1}{t}$, 법선 $y = -tx + t^3 + 2t$    (2) $t = \sqrt{2}$, 최솟값 $4$

(1) 단계별 풀이 (10점): $\int_0^x (x - t)f(t)\,dt = x\int_0^x f(t)\,dt - \int_0^x t f(t)\,dt$의 양변을 미분하면 $\int_0^x f(t)\,dt = 4x^3 - 6x^2 + 2ax$이다. 다시 미분하면 $f(x) = 12x^2 - 12x + 2a$이며, 첫 미분식에 $x=0$을 대입하면 $0=0$으로 임의의 $a$에서 성립하고, 조건 $f(0) = 4$가 주어질 때 $2a = 4 \implies a = 2$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): $f(x) = 12x^2 - 12x + 2a$이므로 $f(2) = 48 - 24 + 2a = 24 + 2a$ ($a=2$일 때 $28$)이다.
답: (1) $\int_0^x f(t)\,dt = 4x^3 - 6x^2 + 2ax$    (2) $f(x) = 12x^2 - 12x + 2a,\ f(2) = 24 + 2a$

(1) 단계별 풀이 (15점): $x^2 - \dfrac{1}{n}x - \dfrac{2}{n^2} = \left(x - \dfrac{2}{n}\right)\left(x + \dfrac{1}{n}\right) = 0$에서 두 교점의 $x$좌표는 $-\dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n}$이다. 따라서 $S_n = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{2}{n} - \left(-\dfrac{1}{n}\right)\right)^3 = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{3}{n}\right)^3 = \dfrac{9}{2n^3}$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): $n^3 S_n = \dfrac{9}{2}$이므로 $\lim_{n \to \infty} n^3 S_n = \dfrac{9}{2}$이다.
답: (1) 교점 $-\dfrac{1}{n},\ \dfrac{2}{n}$, $S_n = \dfrac{9}{2n^3}$    (2) $\lim_{n \to \infty} n^3 S_n = \dfrac{9}{2}$