【실전모의고사 8회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 포물선의 초점과 준선 성질, 접선의 방정식과 넓이 최솟값]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.6 탐구 11081 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 포물선 $y^2 = 4px$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서 초점 $\mathrm{F}(p, 0)$까지의 거리는 $x_1 + p$이고, 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 방정식은 $y_1 y = 2p(x + x_1)$이다.
나) 산술·기하평균 부등식에 의해 두 양수 $A, B$에 대하여 $A + B \ge 2\sqrt{AB}$ (등호는 $A = B$일 때 성립)이다.
[문제 1-1] 포물선 $y^2 = 8x$의 초점을 $\mathrm{F}$라 하고, 제$1$사분면 위의 포물선 위 점 $\mathrm{P}(a, b)$가 $\overline{\mathrm{PF}} = 6$을 만족시킬 때, 제시문 가)를 이용하여 답하시오.
(1) 양수 $a, b$의 값을 각각 구하시오. (10점)
(2) 점 $\mathrm{P}$에서의 접선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{Q}, \mathrm{R}$라 할 때 삼각형 $\mathrm{OQR}$의 넓이를 구하시오. (10점)
[문제 1-2] 포물선 $y^2 = 4x$ 위의 점 $\mathrm{A}(t^2, 2t)$ ($t > 0$)에서의 법선이 포물선과 다시 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 할 때, 제시문 나)를 이용하여 답하시오.
(1) 점 $\mathrm{A}$에서의 접선의 기울기와 법선의 방정식을 $t$로 나타내시오. (15점)
(2) 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표 $t^2$와 $\dfrac{4}{t^2}$의 합 $t^2 + \dfrac{4}{t^2}$이 최소가 되는 양수 $t$의 값과 그때의 최솟값을 구하시오. (15점)
【실전모의고사 8회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 미분방정식 형태의 정적분 항등식, 곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이의 극한]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11082 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 미분가능한 함수 $f(x)$가 $\int_a^x (x - t)f(t)\,dt = g(x)$를 만족시킬 때, 양변을 $x$에 대하여 두 번 미분하면 $f(x) = g''(x)$이다.
나) 포물선 $y = ax^2 + bx + c$와 직선 $y = mx + n$의 두 교점의 $x$좌표가 $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$)일 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$이다.
[문제 2-1] 연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_0^x (x - t)f(t)\,dt = x^4 - 2x^3 + ax^2$을 만족시킬 때, 제시문 가)를 이용하여 답하시오.
(1) 양변을 $x$에 대하여 한 번 미분한 도함수 식을 구하고 상수 $a$의 값을 구하시오. (10점)
(2) 함수 $f(x)$를 구하고 $f(2)$의 값을 구하시오. (10점)
[문제 2-2] 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y = x^2$과 직선 $y = \dfrac{1}{n}x + \dfrac{2}{n^2}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_n$이라 할 때, 제시문 나)를 이용하여 답하시오.
(1) 곡선과 직선의 두 교점의 $x$좌표를 $n$으로 나타내고, $S_n$을 $n$에 대한 식으로 구하시오. (15점)
(2) 무한급수 $\sum_{n=1}^\infty n(n+1)S_n$의 부분합과 수렴 여부를 판정하고, $\lim_{n \to \infty} n^3 S_n$의 값을 구하시오. (15점)