(1) 단계별 풀이 (10점): $f(1) = 1 + 2 + 1 = 4$이므로 $g(4) = 1$이다. $f'(x) = 3x^2 + 2$에서 $f'(1) = 5$이므로 $g'(4) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{5}$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): $f(0) = 1, f(2) = 8 + 4 + 1 = 13$이고 $f(x) = 12$ 대신 $f(2) = 13$에 대응하는 공식에서, 문제의 상한 $12$에 대해 $f(a)=12$가 아니라 $f(x) = x^3 + 2x + 1$에서 $f(1)=4, f(2)=13$이므로 영점 $f(0)=1$과 $f(2)=13$에 대해 $\int_0^2 f(x)\,dx = \Big[\dfrac{1}{4}x^4 + x^2 + x\Big]_0^2 = 10$이며, 구간 $[1, 13]$에서의 역함수 적분은 $2 \cdot 13 - 10 = 16$이고, 상한이 $4 = f(1)$일 때는 $1 \cdot 4 - \int_0^1 (x^3+2x+1)\,dx = 4 - \dfrac{9}{4} = \dfrac{7}{4}$이다.
답: (1) $g(4) = 1,\ g'(4) = \dfrac{1}{5}$    (2) 역함수 정적분 공식 적용값 도출

(1) 단계별 풀이 (15점): 곱의 미분법에 의해 $h'(x) = (2x - 2 + x^2 - 2x + 2)e^x = x^2 e^x$이고, 다시 미분하면 $h''(x) = (2x + x^2)e^x = x(x + 2)e^x$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): $e^x > 0$이므로 $h''(x) = 0 \iff x(x + 2) = 0$에서 $x = 0, -2$ 좌우에서 부호가 바뀐다. 따라서 두 변곡점의 $x$좌표는 $-2, 0$이므로 합은 $-2$, 곱은 $0$이다.
답: (1) $h'(x) = x^2 e^x,\ h''(x) = x(x+2)e^x$    (2) 합: $-2$, 곱: $0$

(1) 단계별 풀이 (10점): 제시문 가)에 의해 $S_n = \dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^n \left\{\dfrac{1}{k(k+1)} - \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\right\} = \dfrac{1}{2}\left\{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\right\} = \dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): $\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{2}\left\{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\right\} = \dfrac{1}{4}$이다.
답: (1) $S_n = \dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$    (2) $\dfrac{1}{4}$

(1) 단계별 풀이 (15점): $I_0 = \dfrac{\pi}{2}, I_1 = 1$이다. $I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^{n-1}x \sin x\,dx = \Big[-\sin^{n-1}x\cos x\Big]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}x(1-\sin^2 x)\,dx = (n-1)(I_{n-2} - I_n)$이므로 $n I_n = (n-1)I_{n-2}$가 성립한다.
(2) 단계별 풀이 (15점): 점화식에 의해 $I_4 = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot I_0 = \dfrac{3\pi}{16}$이고, $I_5 = \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot I_1 = \dfrac{8}{15}$이다.
답: (1) $I_0 = \dfrac{\pi}{2},\ I_1 = 1$ 및 점화식 유도    (2) $I_4 = \dfrac{3\pi}{16},\ I_5 = \dfrac{8}{15}$