【실전모의고사 7회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 역함수의 미분법과 정적분 대칭성, 지수·다항 결합함수의 변곡점과 극값]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11071 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-04]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 미분가능하고 순증가하는 함수 $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $g'(f(a)) = \dfrac{1}{f'(a)}$이며 $\int_a^b f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)} g(y)\,dy = b f(b) - a f(a)$이다.
나) 이계도함수를 갖는 함수 $h(x)$에서 $h''(c) = 0$이고 $x = c$ 좌우에서 $h''(x)$의 부호가 바뀌면 점 $(c, h(c))$는 곡선 $y = h(x)$의 변곡점이다.
[문제 1-1] 실수 전체의 집합에서 증가하는 함수 $f(x) = x^3 + 2x + 1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) $g(4)$와 $g'(4)$의 값을 각각 구하시오. (10점)
(2) 정적분 $\int_1^{12} g(x)\,dx$의 값을 구하시오. (10점)
[문제 1-2] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $h(x) = (x^2 - 2x + 2)e^x$에 대하여 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 함수 $h(x)$의 도함수 $h'(x)$와 이계도함수 $h''(x)$를 구하시오. (15점)
(2) 곡선 $y = h(x)$의 두 변곡점의 $x$좌표의 합과 곱을 각각 구하시오. (15점)
【실전모의고사 7회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 수열의 귀납적 정의와 부분분수 급수, 삼각함수 정적분 점화식]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 11072 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12미적Ⅰ-03-04]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 부분분수 항등식 $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1}{2}\left\{\dfrac{1}{k(k+1)} - \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\right\}$를 이용하여 망원급수의 합을 구할 수 있다.
나) 음이 아닌 정수 $n$에 대하여 $I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx$는 부분적분법에 의해 $I_n = \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$ ($n \ge 2$)를 만족시킨다.
[문제 2-1] 자연수 $n$에 대하여 수열 $a_n = \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 할 때, 제시문 가)를 이용하여 답하시오.
(1) $S_n$을 $n$에 대한 유리식으로 나타내시오. (10점)
(2) 무한급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$의 합을 구하시오. (10점)
[문제 2-2] 제시문 나)의 정적분 수열 $I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx$에 대하여 다음 물음에 답하시오.
(1) $I_0, I_1$의 값을 구하고 부분적분법으로 $I_n = \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$ ($n \ge 2$)가 성립함을 증명하시오. (15점)
(2) $I_4$와 $I_5$의 값을 각각 구하시오. (15점)