(1) 단계별 풀이 (10점): $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$, $f''(x) = 6x - 12 = 0$에서 변곡점의 $x$좌표는 $x = 2$이고 $f(2) = 8 - 24 + 18 + 2 = 4$이므로 $\mathrm{A}(2, 4)$이다. 접선의 기울기는 $f'(2) = -3$이므로 접선의 방정식은 $y = -3(x - 2) + 4 = -3x + 10$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): 접점의 $x$좌표를 $t$라 하면 접선이 $(0, k)$를 지나므로 $k - (t^3 - 6t^2 + 9t + 2) = (3t^2 - 12t + 9)(0 - t) \iff -2t^3 + 6t^2 + 2 = k$이다. $g(t) = -2t^3 + 6t^2 + 2$라 하면 $g'(t) = -6t(t - 2) = 0$에서 극솟값 $g(0) = 2$, 극댓값 $g(2) = 10$이므로 서로 다른 세 실근을 가질 범위는 $2 < k < 10$이다.
답: (1) $\mathrm{A}(2, 4),\ y = -3x + 10$    (2) $2 < k < 10$

(1) 단계별 풀이 (15점): $x'(t) = 2t$, $y'(t) = t^2 - 1$이므로 $(x'(t))^2 + (y'(t))^2 = 4t^2 + (t^2 - 1)^2 = (t^2 + 1)^2$이다. 따라서 속력은 $v(t) = t^2 + 1$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): $s = \int_0^2 (t^2 + 1)\,dt = \Big[\dfrac{1}{3}t^3 + t\Big]_0^2 = \dfrac{8}{3} + 2 = \dfrac{14}{3}$이다.
답: (1) $v(t) = t^2 + 1$    (2) $s = \dfrac{14}{3}$

(1) 단계별 풀이 (10점): 코사인법칙에 의해 $\cos B = \dfrac{7^2 + 8^2 - 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \dfrac{49 + 64 - 25}{112} = \dfrac{88}{112} = \dfrac{11}{14}$이다. $\sin B = \sqrt{1 - (11/14)^2} = \dfrac{5\sqrt{3}}{14}$이므로 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \dfrac{5\sqrt{3}}{14} = 10\sqrt{3}$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): 사인법칙에 의해 $2R = \dfrac{5}{\sin B} = \dfrac{70}{5\sqrt{3}} = \dfrac{14}{\sqrt{3}}$이므로 $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$이다. 또한 $S = \dfrac{1}{2}(7+8+5)r = 10r = 10\sqrt{3}$이므로 내접원 반지름은 $r = \sqrt{3}$이다.
답: (1) $\cos B = \dfrac{11}{14},\ S = 10\sqrt{3}$    (2) $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3},\ r = \sqrt{3}$

(1) 단계별 풀이 (15점): 정사각형의 한 변의 길이가 $y$이므로 $S(x) = y^2 = (x + 1)\{\ln(x + 1)\}^2$이다. $u = \ln(x + 1)$로 치환하면 $x + 1 = e^u, dx = e^u\,du$이므로 $V = \int_0^1 e^u u^2 e^u\,du = \int_0^1 u^2 e^{2u}\,du$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): 부분적분법을 두 번 적용하면 $\int_0^1 u^2 e^{2u}\,du = \Big[\left(\dfrac{1}{2}u^2 - \dfrac{1}{2}u + \dfrac{1}{4}\right)e^{2u}\Big]_0^1 = \dfrac{1}{4}e^2 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{e^2 - 1}{4}$이다.
답: (1) $S(x) = (x+1)\{\ln(x+1)\}^2,\ V = \int_0^1 u^2 e^{2u}\,du$    (2) $V = \dfrac{e^2 - 1}{4}$