【실전모의고사 6회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 삼차함수의 접선과 극값의 비율 관계, 매개변수 운동의 가속도와 곡선 길이]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 11061 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 다항함수 $f(x)$가 $x = \alpha$에서 극값을 가지면 $f'(\alpha) = 0$이고, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선의 방정식은 $y - f(t) = f'(t)(x - t)$이다.
나) 평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치가 $x = x(t), y = y(t)$일 때, 시각 $t = a$에서 $t = b$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리는 $s = \int_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}\,dt$이다.
[문제 1-1] 삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 곡선 $y = f(x)$의 변곡점 $\mathrm{A}$의 좌표와 점 $\mathrm{A}$에서의 접선의 방정식을 구하시오. (10점)
(2) 점 $(0, k)$에서 곡선 $y = f(x)$에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오. (10점)
[문제 1-2] 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$ ($0 \le t \le 2$)에서의 위치가 $x(t) = t^2, y(t) = \dfrac{1}{3}t^3 - t$일 때, 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 점 $\mathrm{P}$의 속력 $v(t)$를 $t$에 대한 다항식으로 나타내시오. (15점)
(2) 시각 $t = 0$에서 $t = 2$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리 $s$를 구하시오. (15점)
【실전모의고사 6회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 코사인법칙과 외접원 기하, 정적분으로 정의된 입체도형 단면 부피]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 11062 변형 | 성취기준: 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-05]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$와 사인법칙 $\dfrac{c}{\sin C} = 2R$이 성립한다.
나) 닫힌구간 $[a, b]$에서 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $S(x)$인 입체도형의 부피는 $V = \int_a^b S(x)\,dx$이다.
[문제 2-1] 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 7, \overline{\mathrm{BC}} = 8, \overline{\mathrm{CA}} = 5$일 때, 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) $\cos B$의 값과 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 구하시오. (10점)
(2) 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름 $R$와 내접원의 반지름 $r$를 각각 구하시오. (10점)
[문제 2-2] 곡선 $y = \sqrt{x + 1}\ln(x + 1)$ ($0 \le x \le e - 1$)과 $x$축 및 직선 $x = e - 1$로 둘러싸인 영역을 밑면으로 하고, $x$축에 수직인 단면이 정사각형인 입체도형에 대하여 제시문 나)를 이용하여 답하시오.
(1) 단면의 넓이 $S(x)$를 구하고, 치환적분 $u = \ln(x + 1)$을 이용하여 부피 적분식을 $u$에 대한 정적분으로 변환하시오. (15점)
(2) 부분적분법을 이용하여 입체도형의 부피 $V$를 구하시오. (15점)