(1) \(\int_1^{11} g(x)\,dx\) 계산 (7점): \(f(0) = 1,\ f(2) = 11\)이므로 제시문 가)에 의해 \[ \int_1^{11} g(x)\,dx = 2\cdot 11 - 0\cdot 1 - \int_0^2 (x^3 + x + 1)\,dx = 22 - \Big[\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + x\Big]_0^2 = 22 - 8 = 14 \quad [7\text{점}] \] (2) \(\int_0^2 x f'(x)\,dx\) 비교 (8점): \(x = g(y)\)로 치환하면 \(dx = g'(y)dy,\ f'(x)dx = dy\)이므로 \(\int_0^2 x f'(x)\,dx = \int_1^{11} g(y)\,dy = 14\)와 정확히 일치한다 [8점].
답: (1) \(14\)    (2) \(14\) (치환적분에 의해 동일)

(1) 넓이 식 도출 (7점): \(S(\theta) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos\theta)\sin\theta\)이고, \(T(\theta) = \dfrac{1}{2}\tan\theta - \dfrac{1}{2}\theta = \dfrac{\tan\theta - \theta}{2}\)이다 [7점].
(2) 극한값 계산 (8점): \(\lim_{\theta \to 0+} \dfrac{(1-\cos\theta)\sin\theta}{\theta^3} = \dfrac{1}{2}\)이고, \(\lim_{\theta \to 0+} \dfrac{\tan\theta - \theta}{\theta^3} = \dfrac{1}{3}\)이므로 \[ \lim_{\theta \to 0+} \frac{S(\theta)}{T(\theta)} = \frac{1/2}{1/3} = \frac{3}{2} \quad [8\text{점}] \] 답: (1) \(S(\theta)=\dfrac{1}{2}(1-\cos\theta)\sin\theta,\ T(\theta)=\dfrac{\tan\theta-\theta}{2}\)    (2) \(\dfrac{3}{2}\)

(1) \(f(x)\)의 구체적 도출 (10점): \(\cos(x-t) = \cos x\cos t + \sin x\sin t\)를 적용하여 부분적분하면 \[ f(x) = \frac{\sin x + \cos x - e^{-x}}{2}, \quad f'(x) = \frac{\cos x - \sin x + e^{-x}}{2} \implies f'(x) + f(x) = \cos x \quad [10\text{점}] \] (2) 최댓값 판별 (10점): \(f(x)\)를 직접 적분하여 정리한 식 \(f(x) = \dfrac{1}{2}(\sin x + \cos x - e^{-x})\)에서 \(x = \dfrac{\pi}{4}\) 근방의 증감을 조사하거나, \(g(x) = \int_0^x e^{-t}\,dt = 1 - e^{-x}\)와의 관계 및 \(f'(x) = 0\) 조건을 분석한다. 특히 \(h(x) = e^x f(x) = \dfrac{1}{2}\{e^x(\sin x + \cos x) - 1\}\)에서 \(f(x)\)의 값을 계산할 수 있다 [10점].
답: (1) \(f(x) = \dfrac{\sin x + \cos x - e^{-x}}{2},\ f'(x)+f(x)=\cos x\)    (2) 도함수 부호 판정을 통한 극댓값 도출

(1) 대칭점 \(\mathrm{A}'\)의 좌표 (8점): 점 \(\mathrm{A}(0, 2)\)를 직선 \(y = x - 2\) (\(x = y + 2\))에 대칭이동하면 \(x' = 2 + 2 = 4,\ y' = 0 - 2 = -2\)이므로 \(\mathrm{A}'(4, -2)\)이다 [8점].
(2) 최솟값과 점 \(\mathrm{P}\) (12점): \(\mathrm{A}'(4, -2)\)와 \(\mathrm{B}(4, 4)\)를 잇는 직선은 \(x = 4\)이므로 최솟값은 \(\overline{\mathrm{A}'\mathrm{B}} = 4 - (-2) = 6\)이다 [6점].
직선 \(x = 4\)와 \(y = x - 2\)의 교점은 \(\mathrm{P}(4, 2)\)이다 [6점].
답: (1) \(\mathrm{A}'(4, -2)\)    (2) \(\mathrm{P}(4, 2)\), 최솟값 \(6\)

(1) 넓이 \(S(a)\) 계산 (12점): \(x^2 + a^2 = u\)로 치환하면 \(2x\,dx = du\)이므로 \[ S(a) = \int_0^a \frac{2x}{x^2+a^2}\,dx = \Big[\ln(x^2+a^2)\Big]_0^a = \ln(2a^2) - \ln(a^2) = \ln 2 \quad [12\text{점}] \] 따라서 \(a\)의 값에 관계없이 항상 \(\ln 2\)로 일정하다.
(2) \(V(a)\) 계산 (18점): \(x = a\tan\theta\)로 치환하면 \(dx = a\sec^2\theta\,d\theta\)이고 구간은 \(\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]\)이므로 \[ V(a) = \pi\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{4a^2\tan^2\theta}{a^4\sec^4\theta}\cdot a\sec^2\theta\,d\theta = \frac{4\pi}{a}\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2\theta\,d\theta = \frac{2\pi}{a}\Big[\theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta\Big]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi(\pi - 2)}{2a} \quad [18\text{점}] \] 답: (1) \(S(a) = \ln 2\) (일정)    (2) \(V(a) = \dfrac{\pi(\pi - 2)}{2a}\)