【모의고사 5회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 합성함수와 역함수의 정적분, 삼각함수의 극한과 로피탈/테일러 근사]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11051 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-01-02]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 연속함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 순증가하고 역함수 \(g(x)\)를 가질 때, \(\int_a^b f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)} g(y)\,dy = b f(b) - a f(a)\)가 성립한다.
나) 삼각함수의 기본 극한: \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1,\ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2},\ \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1\)이다.
[문제 1-1] 함수 \(f(x) = x^3 + x + 1\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때, 제시문 가)를 이용하여 다음을 구하시오.
(1) 정적분 \(\int_1^{11} g(x)\,dx\)의 값을 구하시오. (7점)
(2) 정적분 \(\int_0^2 x f'(x)\,dx\)의 값을 구하고 (1)의 결과와 비교하시오. (8점)
[문제 1-2] 좌표평면에서 중심이 원점 \(\mathrm{O}\)이고 반지름이 \(1\)인 원 위의 점 \(\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)\) (\(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\))에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{H}\), 점 \(\mathrm{A}(1, 0)\)에서의 접선이 직선 \(\mathrm{OP}\)와 만나는 점을 \(\mathrm{T}\)라 하자. 삼각형 \(\mathrm{PAH}\)의 넓이를 \(S(\theta)\), 부채꼴 \(\mathrm{OAP}\)와 선분 \(\mathrm{AT}, \mathrm{OT}\)로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(T(\theta)\)라 할 때, 제시문 나)를 이용하여 다음을 구하시오.
(1) \(S(\theta)\)와 \(T(\theta)\)를 \(\theta\)에 대한 식으로 나타내시오. (7점)
(2) 극한값 \(\lim_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{T(\theta)}\)를 구하시오. (8점)
[문제 1-3] 실수 전체에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(f(x) = \int_0^x \cos(x - t)e^{-t}\,dt\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 \(f(x)\)를 정리하고 \(f'(x) + f(x)\)를 구하시오. (10점)
(2) 구간 \([0, \pi]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값을 구하시오. (10점)
【모의고사 5회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 매개변수 사이클로이드와 최단거리 반사 기하, 초월함수 정적분]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.6 탐구 11052 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 좌표평면 위의 직선 \(l\)에 대하여 같은 쪽에 있는 두 점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)와 직선 \(l\) 위의 점 \(\mathrm{P}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}}\)의 최솟값은 점 \(\mathrm{A}\)를 직선 \(l\)에 대하여 대칭이동한 점 \(\mathrm{A}'\)과 점 \(\mathrm{B}\)를 잇는 선분의 길이 \(\overline{\mathrm{A}'\mathrm{B}}\)와 같다.
나) 부분적분법과 치환적분법을 이용하여 초월함수의 정적분을 계산할 수 있다.
[문제 2-1] 좌표평면 위의 두 점 \(\mathrm{A}(0, 2),\ \mathrm{B}(4, 4)\)와 직선 \(y = x - 2\) 위의 동점 \(\mathrm{P}(x, y)\)에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음을 구하시오.
(1) 점 \(\mathrm{A}\)를 직선 \(y = x - 2\)에 대하여 대칭이동한 점 \(\mathrm{A}'\)의 좌표를 구하시오. (8점)
(2) \(\overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}}\)가 최소가 될 때의 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표와 최솟값을 구하시오. (12점)
[문제 2-2] 양수 \(a\)에 대하여 곡선 \(y = \dfrac{2x}{x^2 + a^2}\)과 \(x\)축 및 직선 \(x = a\)로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(S(a)\), 이 영역을 \(x\)축 둘레로 회전시킨 입체의 부피와 관련된 정적분 \(V(a) = \pi\int_0^a \dfrac{4x^2}{(x^2+a^2)^2}\,dx\)에 대하여 다음을 구하시오.
(1) 넓이 \(S(a)\)가 \(a\)의 값에 관계없이 일정함을 보이시오. (12점)
(2) 삼각치환 \(x = a\tan\theta\)를 이용하여 \(V(a)\)를 \(a\)에 대한 식으로 나타내시오. (18점)