(1) 도함수 정리 (6점): \(y' = -\dfrac{\sin x}{\cos x} = -\tan x\)이므로 \(1 + (y')^2 = 1 + \tan^2 x = \sec^2 x\)이다 [6점].
(2) 곡선의 길이 \(L\) (9점): 구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{3}\right]\)에서 \(\sec x > 0\)이므로 \[ L = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sec x\,dx = \Big[\ln|\sec x + \tan x|\Big]_0^{\frac{\pi}{3}} = \ln(2 + \sqrt{3}) \quad [9\text{점}] \] 답: (1) \(\sec^2 x\)    (2) \(\ln(2 + \sqrt{3})\)

(1) 삼각치환 (7점): \(x = 2\sin\theta\) (\(-\pi/2 \le \theta \le \pi/2\))로 놓으면 \(dx = 2\cos\theta\,d\theta\)이고, 구간은 \(\left[0, \dfrac{\pi}{6}\right]\)이므로 \[ K = \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{4\sin^2\theta}{2\cos\theta}\cdot 2\cos\theta\,d\theta = 4\int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^2\theta\,d\theta \quad [7\text{점}] \] (2) 적분 계산 (8점): \(K = 2\int_0^{\frac{\pi}{6}} (1 - \cos 2\theta)\,d\theta = 2\Big[\theta - \dfrac{1}{2}\sin 2\theta\Big]_0^{\frac{\pi}{6}} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)이다 [8점].
답: (1) \(4\int_0^{\pi/6} \sin^2\theta\,d\theta\)    (2) \(\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

(1) 구간 \([k, k+1]\) 적분 비교 (10점): \(x \in [k, k+1]\)에서 \(\dfrac{1}{k+1} \le \dfrac{1}{x} \le \dfrac{1}{k}\)이므로 정적분하면 \[ \frac{1}{k+1} < \int_k^{k+1} \frac{1}{x}\,dx = \ln(k+1) - \ln k < \frac{1}{k} \quad [10\text{점}] \] (2) 합산 및 극한 유도 (10점): 우측 부등식을 \(k=1\)부터 \(n\)까지 더하면 \(\ln(n+1) < \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}\)이고, 좌측 부등식을 \(k=1\)부터 \(n-1\)까지 더하고 \(1\)을 더하면 \(\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} < 1 + \ln n\)이다 [6점].
양변을 \(\ln n\)으로 나누고 \(n \to \infty\) 극한을 취하면 조임정리에 의해 극한값은 \(1\)이다 [4점].
답: (1) \(\dfrac{1}{k+1} < \int_k^{k+1}\dfrac{1}{x}dx < \dfrac{1}{k}\)    (2) 극한값 \(1\)

(1) \(r_1\)과 공비 (10점): 원 \(C_1\)의 중심에서 \(\mathrm{OA}\)에 내린 수선의 발을 이용하면 \(\sqrt{2}r_1 + r_1 = 2\)이므로 \(r_1 = \dfrac{2}{\sqrt{2}+1} = 2(\sqrt{2}-1)\)이다 [5점].
이웃한 두 외접원의 중심거리로부터 \(\sqrt{2}(r_n - r_{n+1}) = r_n + r_{n+1}\)이므로 공비는 \(\dfrac{r_{n+1}}{r_n} = \dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = (\sqrt{2}-1)^2 = 3 - 2\sqrt{2}\)이다 [5점].
(2) 넓이 급수의 합 (10점): \(S_1 = \pi r_1^2 = 4(3-2\sqrt{2})\pi\)이고 넓이의 공비는 \(R = (3-2\sqrt{2})^2 = 17 - 12\sqrt{2}\)이므로 \[ \sum_{n=1}^\infty S_n = \frac{4(3-2\sqrt{2})\pi}{1 - (17-12\sqrt{2})} = \frac{(3-2\sqrt{2})\pi}{3\sqrt{2}-4} = \frac{\sqrt{2}-1}{2}\pi \quad [10\text{점}] \] 답: (1) \(r_1 = 2(\sqrt{2}-1)\), 공비 \(3-2\sqrt{2}\)    (2) \(\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\pi\)

(1) 극값 및 극한 (15점): \(f'(x) = (x^2 + 2x - 3)e^x = (x+3)(x-1)e^x = 0\)에서 \(x = -3\)일 때 극댓값 \(f(-3) = 6e^{-3}\), \(x = 1\)일 때 극솟값 \(f(1) = -2e\)를 갖는다 [10점].
또한 \(\lim_{x \to -\infty} (x^2-3)e^x = 0\)이다 [5점].
(2) 서로 다른 세 실근 조건 (15점): \(x < -\sqrt{3}\)에서 \(f(x) > 0\)이고 \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\)이므로, 직선 \(y = k\)가 곡선 \(y = f(x)\)와 서로 다른 세 점에서 만나려면 \(0 < k < f(-3)\)이어야 한다. 따라서 \(0 < k < \dfrac{6}{e^3}\)이다 [15점].
답: (1) 극댓값 \(6e^{-3}\), 극솟값 \(-2e\), 극한 \(0\)    (2) \(0 < k < \dfrac{6}{e^3}\)