【실전모의고사 4회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 음함수와 매개변수 미분법, 삼각치환 정적분, 수열과 적분 부등식]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 11041 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-04]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 매개변수로 나타낸 함수 \(x = f(t),\ y = g(t)\)에 대하여 \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{g'(t)}{f'(t)}\)이고, 곡선 \(y = f(x)\)의 구간 \([a, b]\)에서의 길이는 \(L = \int_a^b \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2}\,dx\)이다.
나) 구간 \([a, b]\)에서 \(f(x) \le g(x)\)이면 \(\int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx\)가 성립한다.
[문제 1-1] 닫힌구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{3}\right]\)에서 곡선 \(y = \ln(\cos x)\)의 길이를 제시문 가)를 이용하여 구하시오.
(1) \(1 + (y')^2\)을 간단히 정리하시오. (6점)
(2) \(\sec x\)의 적분을 이용하여 곡선의 길이 \(L\)을 구하시오. (단, \(\int \sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C\)) (9점)
[문제 1-2] 정적분 \(K = \int_0^1 \dfrac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx\)의 값을 삼각치환 \(x = 2\sin\theta\)를 이용하여 구하시오. (15점)
(1) 치환 후의 \(\theta\)에 대한 정적분 식을 세우시오. (7점)
(2) 반각공식을 적용하여 정적분 \(K\)의 값을 구하시오. (8점)
[문제 1-3] 자연수 \(n \ge 2\)에 대하여 제시문 나)를 이용하여 부등식 \(\ln(n+1) < \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} < 1 + \ln n\)이 성립함을 증명하고, 극한값 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\ln n}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}\)를 구하시오. (20점)
(1) 구간 \([k, k+1]\)에서 함수 \(y = \dfrac{1}{x}\)의 정적분과 직사각형 넓이를 비교하시오. (10점)
(2) 부등식을 변변 더하여 주어진 부등식과 극한값을 유도하시오. (10점)
【실전모의고사 4회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 등비급수와 프랙탈 도형, 초월함수의 방정식 실근의 개수]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 11042 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12미적Ⅰ-02-08]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 첫째항이 \(a\)이고 공비가 \(r\) (\(|r| < 1\))인 등비급수의 합은 \(\dfrac{a}{1 - r}\)이다.
나) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(y = k\)의 교점의 개수는 방정식 \(f(x) = k\)의 서로 다른 실근의 개수와 같다.
[문제 2-1] 반지름의 길이가 \(2\)이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\)인 부채꼴 \(\mathrm{OAB}\)에 내접하는 원 \(C_1\)을 그리고, 부채꼴의 두 반지름 \(\mathrm{OA}, \mathrm{OB}\) 및 원 \(C_1\)에 동시에 접하는 작은 원 \(C_2\)를 그리는 과정을 한없이 반복할 때, 원 \(C_n\)의 반지름을 \(r_n\), 넓이를 \(S_n\)이라 하자.
(1) 첫째 원 \(C_1\)의 반지름 \(r_1\)과 공비 \(\dfrac{r_{n+1}}{r_n}\)를 구하시오. (10점)
(2) 무한급수 \(\sum_{n=1}^\infty S_n\)의 값을 구하시오. (10점)
[문제 2-2] 실수 전체에서 정의된 함수 \(f(x) = (x^2 - 3)e^x\)에 대하여 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 구하고, \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\)를 구하시오. (15점)
(2) 방정식 \((x^2 - 3)e^x = k\)가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오. (15점)