(1) 극댓값과 변곡점 (7점): \(f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2} = 0\)에서 \(x = e\)일 때 극댓값 \(f(e) = \dfrac{1}{e}\)을 갖는다 [3점].
이계도함수 \(f''(x) = \dfrac{-x - 2x(1-\ln x)}{x^4} = \dfrac{2\ln x - 3}{x^3} = 0\)에서 \(x = e^{\frac{3}{2}}\) 좌우에서 부호가 바뀌므로 변곡점 좌표는 \(\left(e^{\frac{3}{2}}, \ \dfrac{3}{2}e^{-\frac{3}{2}}\right)\)이다 [4점].
(2) \(e^\pi > \pi^e\) 증명 (8점): 구간 \([e, \infty)\)에서 \(f'(x) < 0\)이므로 \(f(x)\)는 순감소한다 [3점].
\(e < \pi\)이므로 \(f(e) > f(\pi) \implies \dfrac{\ln e}{e} > \dfrac{\ln \pi}{\pi} \implies \pi\ln e > e\ln\pi \implies \ln(e^\pi) > \ln(\pi^e)\)가 되어 \(e^\pi > \pi^e\)이다 [5점].
답: (1) 극댓값 \(\dfrac{1}{e}\), 변곡점 \(\left(e^{\frac{3}{2}}, \ \dfrac{3}{2}e^{-\frac{3}{2}}\right)\)    (2) \([e, \infty)\)에서 \(f(x)\) 감소 이용 증명

(1) 첫째 극한값 (7점): 식을 변형하면 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1 + (k/n)^2} = \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}\,dx\)이다 [4점].
\(x = \tan\theta\)로 치환하면 \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} 1\,d\theta = \dfrac{\pi}{4}\)이다 [3점].
(2) 둘째 극한값 (8점): \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{k}{n}\right)e^{-(k/n)^2} = \int_0^1 x e^{-x^2}\,dx = \Big[-\dfrac{1}{2}e^{-x^2}\Big]_0^1 = \dfrac{1 - e^{-1}}{2}\)이다 [8점].
답: (1) \(\dfrac{\pi}{4}\)    (2) \(\dfrac{e - 1}{2e}\)

(1) 변곡점 \(\mathrm{P}_t\) 좌표 (8점): \(y' = (1 - tx)e^{-tx}\), \(y'' = t(tx - 2)e^{-tx} = 0\)에서 \(x = \dfrac{2}{t}\)이다 [5점].
따라서 변곡점의 좌표는 \(\mathrm{P}_t\!\left(\dfrac{2}{t}, \ \dfrac{2}{t}e^{-2}\right)\)이다 [3점].
(2) 넓이 \(A(t)\) 계산 (12점): 직선 \(\mathrm{OP}_t\)의 방정식은 \(y = e^{-2}x\)이므로 \[ A(t) = \int_0^{\frac{2}{t}} \left(xe^{-tx} - e^{-2}x\right)dx = \Big[-\frac{tx+1}{t^2}e^{-tx} - \frac{1}{2}e^{-2}x^2\Big]_0^{\frac{2}{t}} = \frac{1 - 3e^{-2}}{t^2} - \frac{2e^{-2}}{t^2} = \frac{1 - 5e^{-2}}{t^2} \quad [8\text{점}] \] 따라서 \(A(t) = 1 \iff t^2 = 1 - 5e^{-2}\)에서 \(t > 0\)이므로 \(t = \sqrt{1 - 5e^{-2}}\)이다 [4점].
답: (1) \(\left(\dfrac{2}{t}, \ \dfrac{2}{te^2}\right)\)    (2) \(A(t) = \dfrac{1-5e^{-2}}{t^2},\ t = \sqrt{1 - 5e^{-2}}\)

(1) 점 \(\mathrm{B}\)와 \(S_1\) (10점): \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)에서 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)이므로 \(f'(0) = 2\)이고 접선 \(l\)은 \(y = 2x\)이다 [3점].
\(x^3 - 3x^2 + 2x = 2x \implies x^2(x - 3) = 0\)에서 \(\mathrm{B}(3, 6)\)이고, \(S_1 = \dfrac{1}{12}(3 - 0)^4 = \dfrac{27}{4}\)이다 [7점].
(2) \(S_2\)와 넓이비 (10점): 점 \(\mathrm{B}(3, 6)\)에서의 접선과 곡선의 교점의 \(x\)좌표 합은 근과 계수의 관계에 의해 \(3 + 3 + \gamma = 3 \implies \gamma = -3\)이다 [5점].
따라서 \(S_2 = \dfrac{1}{12}\{3 - (-3)\}^4 = \dfrac{6^4}{12} = 108\)이므로 \(\dfrac{S_2}{S_1} = 2^4 = 16\)이다 [5점].
답: (1) \(\mathrm{B}(3, 6),\ S_1 = \dfrac{27}{4}\)    (2) \(\dfrac{S_2}{S_1} = 16\)

(1) 기본 정적분 계산 (10점): 반각공식과 배각공식에 의해 \[ \int_0^\pi \sin^2 x\,dx = \frac{\pi}{2}, \quad \int_0^\pi \cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{2}, \quad \int_0^\pi \sin x\cos x\,dx = 0 \quad [10\text{점}] \] (2) \(J(a, b)\) 전개 및 최솟값 (20점): \(\int_0^\pi \sin x\,dx = 2,\ \int_0^\pi \cos x\,dx = 0\)이므로 제곱식을 전개하여 적분하면 \[ J(a, b) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}a^2 + \pi b^2 - 4b = \frac{\pi}{2}a^2 + \pi\left(b - \frac{2}{\pi}\right)^2 + \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \quad [12\text{점}] \] 따라서 \(a = 0,\ b = \dfrac{2}{\pi}\)일 때 최솟값 \(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{4}{\pi}\)를 갖는다 [8점].
답: (1) \(\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{2},\ 0\)    (2) \(a = 0,\ b = \dfrac{2}{\pi}\), 최솟값 \(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{4}{\pi}\)