【실전모의고사 3회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 이계도함수와 변곡점, 정적분과 급수의 합, 쌍곡선 함수의 극값]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11031 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 이계도함수를 갖는 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f''(a) = 0\)이고 \(x = a\)의 좌우에서 \(f''(x)\)의 부호가 바뀌면 점 \((a, f(a))\)는 곡선 \(y = f(x)\)의 변곡점이다.
나) 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 연속일 때, 정적분과 급수의 관계 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\!\left(\dfrac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx\)가 성립한다.
[문제 1-1] 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \dfrac{\ln x}{x}\)에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 변곡점의 좌표를 구하시오. (7점)
(2) 부등식 \(e^\pi > \pi^e\)이 성립함을 함수 \(f(x)\)의 증감을 이용하여 증명하시오. (8점)
[문제 1-2] 제시문 나)를 이용하여 다음 극한값을 구하시오.
(1) \(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{n}{n^2 + k^2}\)의 값을 구하시오. (7점)
(2) \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k e^{-\frac{k^2}{n^2}}\)의 값을 구하시오. (8점)
[문제 1-3] 매개변수 \(t > 0\)에 대하여 곡선 \(y = x e^{-tx}\) (\(x \ge 0\))의 변곡점을 \(\mathrm{P}_t\)라 하고, 원점 \(\mathrm{O}\)와 \(\mathrm{P}_t\)를 지나는 직선과 곡선 \(y = x e^{-tx}\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(A(t)\)라 하자.
(1) 변곡점 \(\mathrm{P}_t\)의 좌표를 구하시오. (8점)
(2) 넓이 \(A(t)\)를 \(t\)에 대한 식으로 나타내고, \(A(t) = 1\)을 만족시키는 \(t\)의 값을 구하시오. (12점)
【실전모의고사 3회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 삼차함수의 접선과 넓이 공식, 삼각함수의 합성 및 정적분 최솟값]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11032 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 삼차함수 \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)의 그래프 위의 점 \((\alpha, f(\alpha))\)에서의 접선이 곡선과 다시 만나는 점의 \(x\)좌표를 \(\beta\)라 할 때, 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(\dfrac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4\)이다.
나) 실수 \(t\)에 대하여 이차함수 \(Q(t) = At^2 + Bt + C\) (\(A > 0\))는 \(t = -\dfrac{B}{2A}\)에서 최솟값 \(C - \dfrac{B^2}{4A}\)를 갖는다.
[문제 2-1] 곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 2x\) 위의 점 \(\mathrm{A}(0, 0)\)에서의 접선 \(l\)이 곡선과 다시 만나는 점을 \(\mathrm{B}\)라 할 때, 제시문 가)를 이용하여 다음을 구하시오.
(1) 점 \(\mathrm{B}\)의 좌표와 곡선 및 접선 \(l\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1\)을 구하시오. (10점)
(2) 점 \(\mathrm{B}\)에서의 접선 \(m\)과 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_2\)에 대하여 \(\dfrac{S_2}{S_1}\)의 값을 구하시오. (10점)
[문제 2-2] 실수 \(a, b\)에 대하여 정적분 \(J(a, b) = \int_0^\pi (\sin x - a\cos x - b)^2\,dx\)가 최소가 되도록 하는 상수 \(a, b\)의 값과 그때의 최솟값을 제시문 나)를 이용하여 구하시오.
(1) \(\int_0^\pi \sin^2 x\,dx,\ \int_0^\pi \cos^2 x\,dx,\ \int_0^\pi \sin x\cos x\,dx\)의 값을 각각 구하시오. (10점)
(2) \(J(a, b)\)를 \(a, b\)에 대한 이차식으로 전개하고, \(J(a, b)\)의 최솟값과 그때의 \(a, b\)를 구하시오. (20점)