【실전모의고사 2회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 역함수의 미분법, 로그함수와 수열의 극한, 부분적분과 점화식]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 11021 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12대수01-04]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 미분가능한 함수 \(f(x)\)의 역함수 \(f^{-1}(x)\)가 존재하고 미분가능할 때, \((f^{-1})'(a) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(a))}\) (단, \(f'(f^{-1}(a)) \ne 0\))이다.
나) 두 함수 \(u(x), v(x)\)가 미분가능할 때 \(\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx\)가 성립한다.
[문제 1-1] 실수 전체에서 증가하는 함수 \(f(x) = x^3 + 2x + e^{x-1}\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때, 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) \(g(4)\)와 \(g'(4)\)의 값을 각각 구하시오. (7점)
(2) 극한값 \(\lim_{x \to 4} \dfrac{g(x) - 1}{x^2 - 16}\)을 구하시오. (8점)
[문제 1-2] 자연수 \(n\)에 대하여 수열 \(\{I_n\}\)을 \(I_n = \int_1^e (\ln x)^n\,dx\)로 정의할 때, 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) \(I_1\)과 \(I_2\)의 값을 각각 구하시오. (5점)
(2) 모든 자연수 \(n \ge 1\)에 대하여 \(I_{n+1} = e - (n+1)I_n\)이 성립함을 증명하시오. (5점)
(3) 부등식 \(0 \le I_{n+1} \le I_n\)을 이용하여 극한값 \(\lim_{n \to \infty} n I_n\)을 구하시오. (5점)
[문제 1-3] 좌표평면에서 곡선 \(y = \ln(x^2 + 1)\) 위의 점 \(\mathrm{P}(t, \ln(t^2+1))\) (\(t > 0\))에서의 접선이 \(y\)축과 만나는 점을 \(\mathrm{Q}(0, h(t))\)라 하자.
(1) \(y\)절편 함수 \(h(t)\)를 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오. (6점)
(2) \(t > 0\)에서 \(h(t)\)가 최솟값을 갖는 \(t\)의 값과 그때의 최솟값을 구하시오. (7점)
(3) 정적분 \(\int_0^1 h(t)\,dt\)의 값을 구하시오. (7점)
【실전모의고사 2회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 삼각함수와 원의 내접 사각형 기하, 미분방정식 형태의 정적분 항등식]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 11022 변형 | 성취기준: 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-04]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 원에 내접하는 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 마주보는 두 내각의 합은 \(\pi\)이므로 \(\cos(\angle C) = -\cos(\angle A),\ \sin(\angle C) = \sin(\angle A)\)가 성립한다.
나) 미적분의 기본정리: 연속함수 \(f(t)\)에 대하여 \(\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)\)이고, \(\dfrac{d}{dx}\int_a^x (x-t)f(t)\,dt = \int_a^x f(t)\,dt\)이다.
[문제 2-1] 원에 내접하는 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 3,\ \overline{\mathrm{BC}} = 4,\ \overline{\mathrm{CD}} = 5,\ \overline{\mathrm{DA}} = 2\)일 때, 제시문 가)를 이용하여 다음을 구하시오.
(1) \(\cos(\angle\mathrm{ABC})\)의 값과 대각선 \(\overline{\mathrm{AC}}\)의 길이를 구하시오. (10점)
(2) 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이 \(S\)와 외접원의 반지름 \(R\)을 구하시오. (10점)
[문제 2-2] 실수 전체에서 이계도함수가 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_0^x (x-t)f(t)\,dt = e^{2x} - ax^2 - bx - 1\)을 만족시킬 때, 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수)
(1) 상수 \(a, b\)의 값과 함수 \(f(x)\)를 구하시오. (15점)
(2) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = 4x + 4\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (15점)