【실전모의고사 1회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 함수극한과 미분가능성, 매개변수 곡선의 이동거리, 정적분으로 정의된 함수]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 11011 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-04]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능할 때, \((a, b)\)의 모든 \(x\)에 대하여 \(f'(x) > 0\)이면 \(f(x)\)는 \([a, b]\)에서 증가하고, \(f'(x) < 0\)이면 \(f(x)\)는 \([a, b]\)에서 감소한다.
나) 좌표평면 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\)에서 위치 \((x, y)\)가 \(x = f(t),\ y = g(t)\)일 때, 시각 \(t = a\)에서 \(t = b\)까지 점 \(\mathrm{P}\)의 속력은 \(v(t)=\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}\)이고 움직인 거리 \(s\)는 \(s = \int_a^b \sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2}\,dt\)이다.
다) 치환적분법: 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)와 미분가능한 함수 \(x = g(t)\)에 대하여 \(g(\alpha)=a,\ g(\beta)=b\)이면 \(\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)\,dt\)이다.
[문제 1-1] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3 - 3x^2 + 4}{x - 2} & (x \ne 2) \\ a & (x = 2) \end{cases}\) 가 \(x = 2\)에서 연속일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)
(1) 상수 \(a\)의 값을 구하시오. (5점)
(2) 유리함수 \(g(x) = \dfrac{f(x)}{x^2 + 1}\)에 대하여 \(g'(0)\)의 값을 구하시오. (5점)
(3) 제시문 가)를 이용하여 함수 \(h(x) = f(x)e^{-x}\)이 증가하는 구간을 구하시오. (5점)
[문제 1-2] 좌표평면 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\) (\(0 \le t \le \pi\))에서의 위치 \((x, y)\)가 \(x = 2t - \sin 2t,\ y = 1 - \cos 2t\)일 때, 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 시각 \(t = \dfrac{\pi}{4}\)에서 곡선의 접선의 기울기 \(\dfrac{dy}{dx}\)를 구하시오. (5점)
(2) 시각 \(t \in [0, \pi]\)에서 점 \(\mathrm{P}\)의 속력이 최대가 되는 시각 \(t\)와 그때의 최대 속력을 구하시오. (5점)
(3) 시각 \(t = 0\)에서 \(t = \pi\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리 \(s\)를 구하시오. (5점)
[문제 1-3] 실수 \(a \ge 0\)에 대하여 정적분으로 정의된 함수 \(I(a) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos\theta}{1 + a\sin\theta}\,d\theta\)가 있다. 제시문 가)와 다)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) \(I(0)\)과 \(I(1)\)의 값을 각각 구하시오. (6점)
(2) \(a > 0\)일 때 \(I(a)\)를 \(a\)에 대한 함수로 나타내고, \(\lim_{a \to 0+} I(a) = I(0)\)이 성립함을 보이시오. (7점)
(3) \(a > 0\)에서 함수 \(I(a)\)의 도함수 \(I'(a)\)를 구하고, \(I(a)\)가 감소함수임을 증명하시오. (7점)
【실전모의고사 1회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 등비급수와 도형의 극한, 코사인법칙과 삼각함수 극한, 회전체 단면 부피 적분]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 11012 변형 | 성취기준: 12대수02-03, 12미적Ⅰ-03-05]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 세 변의 길이를 \(a, b, c\)라 할 때 코사인법칙 \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)가 성립하며, 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C\)이다.
나) 닫힌구간 \([a, b]\)에서 \(x\)좌표가 \(x\)인 점을 지나고 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 입체도형의 단면의 넓이가 \(S(x)\)일 때, 이 입체도형의 부피 \(V\)는 \(V = \int_a^b S(x)\,dx\)이다.
[문제 2-1] 그림과 같이 한 변의 길이가 \(6\)인 정삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 변 \(\mathrm{BC}\)를 \(1:2\)로 내분하는 점을 \(\mathrm{D}\), 변 \(\mathrm{AC}\) 위의 점 \(\mathrm{E}\)에 대하여 \(\angle\mathrm{ADE} = 60^\circ\)일 때, 제시문 가)를 이용하여 다음을 구하시오.
(1) 선분 \(\mathrm{AD}\)의 길이와 \(\cos(\angle\mathrm{ADC})\)의 값을 구하시오. (8점)
(2) 선분 \(\mathrm{CE}\)의 길이와 삼각형 \(\mathrm{ADE}\)의 외접원의 넓이를 구하시오. (12점)
[문제 2-2] 좌표평면에서 곡선 \(y = \sqrt{x}e^{-x}\) (\(x \ge 0\))과 \(x\)축 및 직선 \(x = t\) (\(t > 0\))로 둘러싸인 영역을 밑면으로 하고, \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형인 입체도형의 부피를 \(V(t)\)라 하자. 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 단면의 넓이 함수 \(S(x)\)를 구하고, \(S(x)\)가 최대가 되는 \(x\)의 값을 구하시오. (10점)
(2) 부피 \(V(t)\)를 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오. (10점)
(3) 극한값 \(\lim_{t \to \infty} V(t)\)를 구하시오. (10점)