(1) 단계별 풀이 (10점): 평면 $\alpha$의 방정식은 $2(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z + 1) = 0 \iff 2x - y + 2z + 2 = 0$이다. 원점에서 평면 $\alpha$까지의 거리는 $h = \dfrac{|2|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{2}{3}$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): 구의 반지름이 $R = 3$이므로 교선 원의 반지름 $r$는 $r^2 = R^2 - h^2 = 9 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{77}{9}$이다. 따라서 원의 넓이는 $\pi r^2 = \dfrac{77}{9}\pi$이다.
답: (1) $2x - y + 2z + 2 = 0,\ h = \dfrac{2}{3}$    (2) $\dfrac{77}{9}\pi$

(1) 단계별 풀이 (15점): 두 법선벡터 $\vec{n}_1 = (1, 2, -2), \vec{n}_2 = (2, -1, 2)$의 크기는 모두 $3$이고 내적은 $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2 - 2 - 4 = -4$이므로 $\cos\theta = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} = \dfrac{4}{9}$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): 원판의 넓이는 $S = 9\pi$이므로 정사영의 넓이는 $S' = S\cos\theta = 9\pi \times \dfrac{4}{9} = 4\pi$이다.
답: (1) $\cos\theta = \dfrac{4}{9}$    (2) $4\pi$

(1) 단계별 풀이 (10점): $v_1(t) = 3t(t - 2) = 0$ ($t > 0$)에서 운동 방향을 바꾸는 시각은 $t = 2$이다. 가속도는 $a_1(t) = 6t - 6$이므로 $a_1(2) = 6$이고, 위치는 $x_1(2) = \int_0^2 (3t^2 - 6t)\,dt = \Big[t^3 - 3t^2\Big]_0^2 = -4$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): 움직인 거리는 $\int_0^2 -(3t^2 - 6t)\,dt + \int_2^3 (3t^2 - 6t)\,dt = 4 + \Big[t^3 - 3t^2\Big]_2^3 = 4 + (0 - (-4)) = 8$이다.
답: (1) $t = 2$, 가속도 $6$, 위치 $-4$    (2) 거리 $8$

(1) 단계별 풀이 (15점): $x_1(t) = t^3 - 3t^2$, $x_2(t) = 3t^2 - 9t$이므로 $x_1(t) = x_2(t) \iff t^3 - 6t^2 + 9t = t(t - 3)^2 = 0$이다. 따라서 출발 후 다시 만나는 시각은 $t = 3$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): $D(t) = |t^3 - 6t^2 + 9t| = t(t - 3)^2$ ($0 \le t \le 3$)라 하면 $D'(t) = (t - 1)(3t - 9) = 3(t - 1)(t - 3) = 0$에서 $t = 1$일 때 극대이자 최대이므로 최댓값은 $D(1) = 1 \cdot (-2)^2 = 4$이다.
답: (1) $t = 3$    (2) 최댓값 $4$