【실전모의고사 10회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 공간좌표에서 평면의 방정식과 법선벡터, 구와 평면의 교선 원의 넓이]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.8 탐구 11101 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 점 $\mathrm{A}(x_1, y_1, z_1)$을 지나고 법선벡터가 $\vec{n} = (a, b, c)$인 평면의 방정식은 $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$이다.
나) 점 $\mathrm{P}(x_0, y_0, z_0)$에서 평면 $ax + by + cz + d = 0$까지의 거리는 $h = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$이다.
[문제 1-1] 공간좌표에서 점 $\mathrm{A}(1, 2, -1)$을 지나고 법선벡터가 $\vec{n} = (2, -1, 2)$인 평면을 $\alpha$라 할 때, 제시문 가), 나)를 이용하여 답하시오.
(1) 평면 $\alpha$의 방정식과 원점 $\mathrm{O}(0, 0, 0)$에서 평면 $\alpha$까지의 거리를 구하시오. (10점)
(2) 구 $x^2 + y^2 + z^2 = 9$가 평면 $\alpha$와 만나서 생기는 원의 넓이를 구하시오. (10점)
[문제 1-2] 두 평면 $\alpha_1 : x + 2y - 2z + 3 = 0$과 $\alpha_2 : 2x - y + 2z - 1 = 0$이 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) 두 평면의 법선벡터의 내적을 이용하여 $\cos\theta$의 값을 구하시오. (15점)
(2) 평면 $\alpha_1$ 위의 반지름이 $3$인 원판 도형을 평면 $\alpha_2$ 위로 정사영시켰을 때 생기는 도형의 넓이를 구하시오. (15점)
【실전모의고사 10회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 속도와 가속도의 정적분 활용, 두 동점 사이의 거리와 위치 변화량]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11102 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속도가 $v(t)$일 때, 시각 $t = a$에서 $t = b$까지의 위치의 변화량은 $\int_a^b v(t)\,dt$이고 움직인 거리는 $\int_a^b |v(t)|\,dt$이다.
나) 시각 $t$에서 두 동점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 위치가 각각 $x_1(t), x_2(t)$일 때, 두 점가 만나는 시각은 $x_1(t) = x_2(t)$의 해이다.
[문제 2-1] 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 각각 $v_1(t) = 3t^2 - 6t, v_2(t) = 6t - 9$일 때 답하시오.
(1) 출발 후 점 $\mathrm{P}$가 운동 방향을 바꾸는 시각에서 점 $\mathrm{P}$의 가속도와 위치를 구하시오. (10점)
(2) 시각 $t = 0$에서 $t = 3$까지 점 $\mathrm{P}$가 실제로 움직인 거리를 구하시오. (10점)
[문제 2-2] 위와 동일한 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$에 대하여 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 출발 후 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 다시 만나는 시각 $t$ ($t > 0$)를 구하시오. (15점)
(2) 출발 후 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$가 다시 만날 때까지 두 점 사이의 거리 $|x_1(t) - x_2(t)|$의 최댓값을 구하시오. (15점)