평가 영역: 미적분Ⅰ
핵심 개념: 두 곡선 사이의 넓이, 정적분의 활용
📌 교과서 출처 및 교육과정: [출처: (DB: CAL1_Ch03) PDF p.29 유제 23 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-03-05] (두 곡선 사이의 넓이)]
💡 모범 답안 및 상세 풀이
(1) 두 곡선의 교점의 $x$좌표는 방정식 $-x^2 + 4 = x + 2$의 실근이다.
$$x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0 \implies x = -2 \text{ 또는 } x = 1$$
(2) 열린구간 $(-2, 1)$에서 $x = 0$을 대입하면 $-0^2 + 4 = 4 > 0 + 2 = 2$이므로, 포물선 $y = -x^2 + 4$가 직선 $y = x + 2$보다 위쪽에 위치한다.
(3) 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는
$$S = \int_{-2}^1 \{(-x^2 + 4) - (x + 2)\} dx = \int_{-2}^1 (-x^2 - x + 2) dx$$
$$= \left[ -\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x \right]_{-2}^1$$
$$= \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2\right) - \left(\frac{8}{3} - 2 - 4\right) = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$
(또는 공식 $\frac{|-1|}{6}(1 - (-2))^3 = \frac{1}{6} \cdot 27 = \frac{9}{2}$)
[정답] (1) $x = -2, 1$, (2) 포물선이 직선 위쪽, (3) $S = \frac{9}{2}$
📊 채점 기준 및 배점표 (2열 루브릭)
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
배점 |
| (1) 연립방정식을 풀어 교점 $x = -2, 1$을 올바르게 구함 | 3점 |
| (2) 구간 내에서 포물선이 직선보다 상위에 위치함을 판정함 | 3점 |
| (3) 정적분 식을 정확히 세우고 계산하여 넓이 $S = \frac{9}{2}$를 완결함 | 6점 |