평가 영역: 미적분Ⅰ
핵심 개념: 정적분으로 정의된 함수, 적분과 미분의 관계
📌 교과서 출처 및 교육과정: [출처: (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 유제 23 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-03-04] (정적분으로 정의된 함수)]
💡 모범 답안 및 상세 풀이
1. 위끝과 아래끝이 같아지는 $x = 1$ 대입:
$$\int_1^1 f(t)dt = 1^3 + a(1^2) - 4 = 0$$
$$1 + a - 4 = 0 \implies a - 3 = 0 \implies a = 3$$
2. 양변을 $x$에 대하여 미분:
적분과 미분의 관계에 의해
$$\frac{d}{dx} \int_1^x f(t)dt = f(x)$$
우변을 미분하면 $\frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 4) = 3x^2 + 6x$이다.
따라서 $f(x) = 3x^2 + 6x$이다.
3. $f(2)$ 계산:
$$f(2) = 3(2^2) + 6(2) = 3(4) + 12 = 12 + 12 = 24$$
[정답] $a = 3$, $f(2) = 24$
📊 채점 기준 및 배점표 (2열 루브릭)
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
배점 |
| $x=1$을 대입하여 좌변 $=0$을 이용해 상수 $a = 3$을 구함 | 4점 |
| 양변을 $x$로 미분하여 $f(x) = 3x^2 + 6x$임을 유도함 | 4점 |
| $f(2) = 24$를 정확히 계산함 | 4점 |