평가 영역: 미적분Ⅰ
핵심 개념: 곡선 밖의 점에서 그은 접선, 도함수의 활용
📌 교과서 출처 및 교육과정: [출처: (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 유제 23 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-05] (접선의 방정식)]
💡 모범 답안 및 상세 풀이
1. 접점의 좌표 설정 및 접선의 방정식 수립:
곡선 위의 접점을 $(t, t^2 + 4)$라 하자.
$y' = 2x$이므로 접선의 기울기는 $m = 2t$이다.
접선의 방정식은
$$y - (t^2 + 4) = 2t(x - t) \implies y = 2tx - t^2 + 4$$
2. 원점 $(0, 0)$ 대입:
이 접선이 원점을 지나므로
$$0 = 2t(0) - t^2 + 4 \implies -t^2 + 4 = 0 \implies t^2 = 4 \implies t = 2 \text{ 또는 } t = -2$$
3. 접점 및 접선의 방정식 확정:
- $t = 2$일 때: 접점은 $(2, 8)$, 접선은 $y = 4x$
- $t = -2$일 때: 접점은 $(-2, 8)$, 접선은 $y = -4x$
[정답] 두 접선의 방정식: $y = 4x, y = -4x$ / 두 접점의 좌표: $(2, 8), (-2, 8)$
📊 채점 기준 및 배점표 (2열 루브릭)
| 평가 단계 및 핵심 서술 요소 |
배점 |
| 접점 $(t, t^2+4)$ 및 접선 $y = 2tx - t^2 + 4$를 올바르게 세움 | 4점 |
| 원점 대입을 통해 $t = \pm 2$를 도출하고 두 접점 좌표를 구함 | 4점 |
| 두 접선의 방정식 $y = 4x, y = -4x$를 정확히 완결함 | 4점 |