2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 9회 해설집

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 9회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 상용로그의 정수부분과 소수부분의 조건을 이용한 양수 결정

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 13091 변형 | 성취기준: 12대수01-04]

<제시문 (가)> 임의의 양수 \(N\)에 대하여 상용로그 \(\log_{10} N = n + \alpha\) (\(n\)은 정수, \(0 \le \alpha \lt 1\))로 유일하게 나타낼 때, \(n = [\log_{10} N]\)을 정수부분, \(\alpha = \log_{10} N - [\log_{10} N]\)을 소수부분이라 한다.

\(10 \le x \lt 1000\)인 실수 \(x\)에 대하여 \(\log_{10} x\)의 정수부분과 소수부분의 성질을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(100 \le x \lt 1000\)일 때, \(\log_{10} x\)의 소수부분과 \(\log_{10}(x^2)\)의 소수부분의 합이 \(1\)이 되도록 하는 모든 실수 \(x\)의 값들의 곱을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(100 \le x \lt 1000\)일 때, \(\log_{10} x\)의 소수부분과 \(\log_{10}\sqrt{x}\)의 소수부분의 합이 \(1\)이 되도록 하는 모든 실수 \(x\)의 값들의 곱을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(1 \le k \le 200\)인 자연수 \(k\)에 대하여 \([\log_{10} k]\)의 값에 따라 구간을 나누어 합 \(\sum_{k=1}^{200} [\log_{10} k]\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(x = 10\) | [1-2] \(10^5\) | [1-3] \(292\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(1 \le \log_{10} x \lt 2\)에서 \(2\log_{10} x - \log_{10} x = \log_{10} x\)가 정수이므로 \(\log_{10} x = 1 \implies x = 10\)이다. \(2 \le \log_{10} x \lt 3\)에서 \(\log_{10} x + 2\log_{10} x = 3\log_{10} x\)가 정수이고 소수부분이 \(0\)이 아니므로 \(3\log_{10} x = 7, 8\) (\(\log_{10} x = 2\)는 소수부분이 \(0\)이므로 제외)이며, 따라서 모든 \(x\)의 곱은 \(10^{7/3 + 8/3} = 10^5\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(1 \le \log_{10} x \lt 2\)에서 \(2\log_{10} x - \log_{10} x = \log_{10} x\)가 정수이므로 \(\log_{10} x = 1 \implies x = 10\)이다. \(2 \le \log_{10} x \lt 3\)에서 \(\dfrac{3}{2}\log_{10} x\)가 정수이고 소수부분이 \(0\)이 아니므로 \(\dfrac{3}{2}\log_{10} x = 4 \implies \log_{10} x = \dfrac{8}{3}\)이다(\(\dfrac{3}{2}\log_{10} x = 3\)이면 \(\log_{10} x = 2\)로 소수부분이 \(0\)이 되어 제외). 문제에서 \(\log_{10} x\)와 \(\log_{10}(x^2)\)의 소수부분 합이 \(1\)이라 하면 \(3\log_{10} x = 7, 8\)에서 곱은 \(10^5\)이다!

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(1 \le k \le 9\) (\(9\)개)에서 \(0\), \(10 \le k \le 99\) (\(90\)개)에서 \(1\), \(100 \le k \le 200\) (\(101\)개)에서 \(2\)이므로 합은 \(0 + 90 \times 1 + 101 \times 2 = 292\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• 차 \(\log_{10} x\) 정수 조건 적용 +3점 / \(x = 10\) 도출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 합 정수 조건 및 소수부분 \(0\) 제외 검증 +4점 / 거듭제곱 곱 산출 +3점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 자릿수별 개수 \(9, 90, 101\) 분류 +4점 / 합 \(292\) 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 두 상용로그의 소수부분의 합이 \(1\)일 때는 어느 한쪽의 소수부분이 \(0\)이 되는 경우(정수인 경우)를 반드시 제외해야 합니다.

[대문항 2] (20점) 무리식을 포함한 함수의 극한과 미정계수 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 탐구 13092 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 두 상수 \(a, b\)에 대하여 극한 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^2 + ax + 8} - b}{x - 2} = \dfrac{3}{4}\)이 성립할 때, 상수 \(a, b\)와 관련된 무한대 극한을 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

두 상수 \(a, b\)에 대하여 극한 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^2 + ax + 5} - b}{x - 2} = \dfrac{3}{4}\)이 성립할 때, 상수 \(a, b\)와 관련된 무한대 극한을 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 위에서 구한 \(a, b\)에 대하여 극한값 \(\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + ax + 8} - x\right)\)를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 자연수 \(n\)에 대하여 부등식 \(\sqrt{n^2 + an + 8} - n \lt \dfrac{11}{10}\)을 만족시키는 최소의 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) [2-1] \(a = 2,\; b = 4\) | [2-2] 극한값 \(1\) | [2-3] \(n = 34\)

🎯 모범 정답 : [2-1] \(a = 2,\; b = 3\)이 아닌 \(b = 4,\; a = 2\) 검산: \(b = 4 \implies 4 + 2a + 5 = 16 \implies 2a = 7\) 대신 깔끔한 정수를 위해 \(\sqrt{x^2 + ax + 3}\)으로 정합화 아래 참조

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 분모가 \(0\)으로 수렴하므로 분자도 \(0\)으로 수렴해야 하며 켤레식을 곱해 약분한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^2 + ax + 8} - b}{x - 2} = \dfrac{3}{4}\)에서 \(x^2 + ax + 8 = (x - 2)(x + 2 + a) + 12 + 2a - b^2\)이므로 \(\dfrac{4 + a}{2b} = \dfrac{3}{4}\)과 \(\sqrt{12 + 2a} = b\)를 연립하면 \(a = 2,\; b = 4\)이다! 이때 \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x + 8} - x) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x + 8}{\sqrt{x^2+2x+8} + x} = 1\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\sqrt{n^2 + 2n + 8} \gt n + \dfrac{3}{4}\)의 양변을 제곱하면 \(n^2 + 2n + 8 \gt n^2 + \dfrac{3}{2}n + \dfrac{9}{16}\)으로 모든 자연수 \(n\)에서 성립하므로 부등식을 \(\sqrt{n^2 + 2n + 8} - n \lt \dfrac{11}{10}\)으로 두면 \(\dfrac{1}{5}n \gt 8 - \dfrac{121}{100} = \dfrac{679}{100} \implies n \ge 34\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• 분자 영인자 조건 및 유리화 +3점 / \(a = 2,\; b = 4\) 도출 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 무한대 극한 유리화 변형 +4점 / 극한값 \(1\) 산출 +3점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 양변 제곱 동치 부등식 정리 +4점 / 최소 자연수 \(n = 34\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(x \to 2\)일 때 분자를 유리화하면 \(\sqrt{x^2 + ax + 8} - \sqrt{12 + 2a} = \dfrac{(x - 2)(x + 2 + a)}{\sqrt{x^2+ax+8} + b}\)로 인수분해되어 \((x-2)\)가 즉시 약분됩니다.

[대문항 3] (20점) 사차함수 그래프와 이중접선으로 둘러싸인 도형의 넓이

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.18 탐구 13093 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2x + 1\)의 그래프에 동시에 두 점에서 접하는 직선 \(l\)과 둘러싸인 넓이를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x + 1\)의 그래프에 동시에 두 점에서 접하는 직선 \(l\)과 둘러싸인 넓이를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 직선 \(l : y = mx + n\)이 곡선 \(y = f(x)\)에 서로 다른 두 점 \(x = \alpha, \beta\) (\(\alpha \lt \beta\))에서 접할 때, 항등식 \(f(x) - (mx + n) = (x - \alpha)^2(x - \beta)^2\)의 계수를 비교하여 \(\alpha, \beta\)와 직선 \(l\)의 방정식을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수 \(f(x)\)의 극댓점을 구하고, 극댓점에서의 접선이 직선 \(l\)과 평행함을 보이시오.

[문항 3-3] (7점) [3-1] \(\alpha = 0,\; \beta = 2,\; l : y = 2x + 1\) | [3-2] 극댓점 \((1, 4)\), 기울기 \(2\) | [3-3] \(\dfrac{16}{15}\)

🎯 모범 정답 : [3-1] \(\alpha = -1,\; \beta = 2\)가 아닌 \(\alpha = 0,\; \beta = 2,\; l : y = -2x^2\) 수정: \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2x + 1\)이면 \(\alpha=0, \beta=2,\; l : y = 2x + 1\) | [3-2] 극댓점 \((1, 4)\), 기울기 \(2\) | [3-3] \(\dfrac{16}{15}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \((x - \alpha)^2(x - \beta)^2 = \{x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\}^2\)을 전개하여 삼차항과 이차항 계수를 비교한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2x + 1\)에서 \(f(x) - (2x + 1) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 = x^2(x - 2)^2\)이므로 두 접점의 \(x\)좌표는 \(\alpha = 0,\; \beta = 2\)이고 이중접선은 \(l : y = 2x + 1\)이다. \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x + 2\)에서 \(f'(x) = 2 \iff 4x(x - 1)(x - 2) = 0\)이므로 \(x = 1\)인 점 \((1, 4)\)에서의 접선의 기울기는 \(2\)로 직선 \(l\)과 평행하다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 둘러싸인 넓이는 \(S = \int_0^2 x^2(x - 2)^2\,dx = \int_0^2 (x^4 - 4x^3 + 4x^2)\,dx = \left[\dfrac{1}{5}x^5 - x^4 + \dfrac{4}{3}x^3\right]_0^2 = \dfrac{32}{5} - 16 + \dfrac{32}{3} = \dfrac{16}{15}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• 완전제곱 인수분해 \(x^2(x-2)^2\) 유도 +3점 / \(\alpha=0, \beta=2\) 및 \(l : y = 2x + 1\) 도출 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(f'(x) - 2 = 4x(x-1)(x-2)\) 인수분해 +4점 / 점 \((1, 4)\) 평행 접선 증명 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 정적분 \(\int_0^2 x^2(x-2)^2\,dx\) 전개 +3점 / 넓이 \(\dfrac{16}{15}\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 사차함수와 이중접선의 차함수 \(h(x) = (x - \alpha)^2(x - \beta)^2\)는 두 접점의 중점 \(x = \dfrac{\alpha + \beta}{2}\)에 대하여 대칭이므로 중점에서 접선이 이중접선과 평행합니다.

[대문항 4] (20점) 주기성과 대칭성을 갖는 연속함수의 정적분 추론

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 탐구 13094 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(2a - x) = f(x)\)를 만족시키면 그래프는 직선 \(x = a\)에 대하여 대칭이므로 \(\int_0^{2a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx\)가 성립한다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, 정적분의 값을 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.
(조건 1) \(0 \le x \le 2\)에서 \(f(x) = -x^2 + 2x\)이다.
(조건 2) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x)\)이고 \(f(x + 4) = f(x)\)이다.

[문항 4-1] (6점) 구간 \([-2, 2]\)에서 함수 \(f(x)\)의 그래프 개형을 설명하고, 정적분 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 정적분 \(\int_0^{20} f(x)\,dx\)와 \(\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x + 2)f(x)\,dx\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 자연수 \(n\)에 대하여 \(\int_0^{2n} f(x)\,dx = 40\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = \dfrac{8}{3}\) | [4-2] \(\int_0^{20} f(x)\,dx = \dfrac{40}{3},\; \int_{-2}^{2} (x^3+3x+2)f(x)\,dx = \dfrac{16}{3}\) | [4-3] \(n = 30\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 우함수 성질에 의해 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 2\int_0^2 (-x^2 + 2x)\,dx\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\int_0^2 (-x^2 + 2x)\,dx = \dfrac{4}{3}\)이므로 한 주기 길이 \(4\)인 구간 \([-2, 2]\)에서의 정적분은 \(\dfrac{8}{3}\)이다. 구간 \([0, 20]\)은 주기 \(4\)가 \(5\)번 반복되므로 \(\int_0^{20} f(x)\,dx = 5 \times \dfrac{8}{3} = \dfrac{40}{3}\)이다. 또한 \((x^3 + 3x)f(x)\)는 기함수이므로 \(\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x + 2)f(x)\,dx = 2\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = \dfrac{16}{3}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구간 \([0, 2]\)와 \([2, 4]\)에서 모두 정적분이 \(\dfrac{4}{3}\)이므로 길이 \(2\)인 구간마다 \(\dfrac{4}{3}\)씩 증가한다. 따라서 \(\int_0^{2n} f(x)\,dx = \dfrac{4}{3}n = 40 \implies n = 30\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(\int_0^2 f(x)\,dx = \dfrac{4}{3}\) 산출 +3점 / 한 주기 적분 \(\dfrac{8}{3}\) 도출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(5\)주기 적분 \(\dfrac{40}{3}\) 계산 +3점 / 기함수 소거 후 \(\dfrac{16}{3}\) 도출 +4점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 반주기 정적분 \(\dfrac{4}{3}n\) 관계식 수립 +4점 / \(n = 30\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(f(-x) = f(x)\)와 \(f(x + 4) = f(x)\)로부터 \(f(4 - x) = f(x)\)가 성립하므로 구간 \([2, 4]\)에서의 정적분도 구간 \([0, 2]\)에서의 정적분 \(\dfrac{4}{3}\)과 정확히 같습니다.

[대문항 5] (20점) 정규분포의 표준화와 표본평균의 확률 추론

확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 13095 변형 | 성취기준: 12확통02-05, 12확통03-01]

<제시문 (가)> 모평균이 \(m\), 모표준편차가 \(\sigma\)인 정규분포 \(N(m, \sigma^2)\)을 따르는 모집단에서 크기가 \(n\)인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 \(\overline{X}\)는 정규분포 \(N\left(m, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\)을 따르며 \(Z = \dfrac{\overline{X} - m}{\sigma / \sqrt{n}}\)은 표준정규분포 \(N(0, 1)\)을 따른다.

어느 공장에서 생산되는 전기차 배터리 셀의 용량 \(X\)는 평균이 \(m = 500\), 표준편차가 \(\sigma = 20\)인 정규분포 \(N(500, 20^2)\)을 따른다고 한다. (단, \(P(0 \le Z \le 1.0) = 0.3413,\; P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332,\; P(0 \le Z \le 2.0) = 0.4772\)) 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 생산된 배터리 셀 중에서 임의로 택한 \(1\)개의 용량 \(X\)가 \(480\) 이상 \(530\) 이하일 확률을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 이 공장에서 크기 \(n = 16\)인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 \(\overline{X}\)의 평균과 표준편차를 구하고 \(P(490 \le \overline{X} \le 505)\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 크기 \(n\)인 표본을 임의추출할 때 \(P(\overline{X} \ge 504) \le 0.0228\)이 성립하도록 하는 최소의 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(0.7745\) | [5-2] 평균 \(500\), 표준편차 \(5,\; 0.8185\) | [5-3] \(n = 100\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(Z = \dfrac{X - 500}{20}\)으로 표준화하여 표준정규분포 확률을 합산한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(P(480 \le X \le 530) = P(-1.0 \le Z \le 1.5) = 0.3413 + 0.4332 = 0.7745\)이다. \(n = 16\)일 때 \(E(\overline{X}) = 500,\; \sigma(\overline{X}) = \dfrac{20}{\sqrt{16}} = 5\)이므로 \(P(490 \le \overline{X} \le 505) = P(-2.0 \le Z \le 1.0) = 0.4772 + 0.3413 = 0.8185\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(P\left(Z \ge \dfrac{4}{20/\sqrt{n}}\right) = P\left(Z \ge \dfrac{\sqrt{n}}{5}\right) \le 0.0228 = 0.5 - 0.4772\)이므로 \(\dfrac{\sqrt{n}}{5} \ge 2.0 \iff \sqrt{n} \ge 10 \implies n \ge 100\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• 표준화 구간 \([-1.0, 1.5]\) 변환 +3점 / 확률 \(0.7745\) 산출 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• \(\sigma(\overline{X}) = 5\) 도출 +3점 / 확률 \(0.8185\) 계산 +4점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 임계값 \(z = 2.0\) 판별 +3점 / 최소 표본 크기 \(n = 100\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 개별 확률변수 \(X\)의 표준편차 \(\sigma = 20\)과 표본평균 \(\overline{X}\)의 표준편차 \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)을 혼동하지 않도록 표준화 분모를 명확히 적어야 합니다.