2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 9회 문제집

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 9회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 상용로그의 정수부분과 소수부분의 조건을 이용한 양수 결정

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 13091 변형 | 성취기준: 12대수01-04]

<제시문 (가)> 임의의 양수 \(N\)에 대하여 상용로그 \(\log_{10} N = n + \alpha\) (\(n\)은 정수, \(0 \le \alpha \lt 1\))로 유일하게 나타낼 때, \(n = [\log_{10} N]\)을 정수부분, \(\alpha = \log_{10} N - [\log_{10} N]\)을 소수부분이라 한다.

\(10 \le x \lt 1000\)인 실수 \(x\)에 대하여 \(\log_{10} x\)의 정수부분과 소수부분의 성질을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(100 \le x \lt 1000\)일 때, \(\log_{10} x\)의 소수부분과 \(\log_{10}(x^2)\)의 소수부분의 합이 \(1\)이 되도록 하는 모든 실수 \(x\)의 값들의 곱을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(100 \le x \lt 1000\)일 때, \(\log_{10} x\)의 소수부분과 \(\log_{10}\sqrt{x}\)의 소수부분의 합이 \(1\)이 되도록 하는 모든 실수 \(x\)의 값들의 곱을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(1 \le k \le 200\)인 자연수 \(k\)에 대하여 \([\log_{10} k]\)의 값에 따라 구간을 나누어 합 \(\sum_{k=1}^{200} [\log_{10} k]\)의 값을 구하시오.

[인하대학교 제9회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 무리식을 포함한 함수의 극한과 미정계수 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 탐구 13092 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 두 상수 \(a, b\)에 대하여 극한 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^2 + ax + 8} - b}{x - 2} = \dfrac{3}{4}\)이 성립할 때, 상수 \(a, b\)와 관련된 무한대 극한을 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

두 상수 \(a, b\)에 대하여 극한 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x^2 + ax + 5} - b}{x - 2} = \dfrac{3}{4}\)이 성립할 때, 상수 \(a, b\)와 관련된 무한대 극한을 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 위에서 구한 \(a, b\)에 대하여 극한값 \(\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + ax + 8} - x\right)\)를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 자연수 \(n\)에 대하여 부등식 \(\sqrt{n^2 + an + 8} - n \lt \dfrac{11}{10}\)을 만족시키는 최소의 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) [2-1] \(a = 2,\; b = 4\) | [2-2] 극한값 \(1\) | [2-3] \(n = 34\)

[인하대학교 제9회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 사차함수 그래프와 이중접선으로 둘러싸인 도형의 넓이

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.18 탐구 13093 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2x + 1\)의 그래프에 동시에 두 점에서 접하는 직선 \(l\)과 둘러싸인 넓이를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x + 1\)의 그래프에 동시에 두 점에서 접하는 직선 \(l\)과 둘러싸인 넓이를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 직선 \(l : y = mx + n\)이 곡선 \(y = f(x)\)에 서로 다른 두 점 \(x = \alpha, \beta\) (\(\alpha \lt \beta\))에서 접할 때, 항등식 \(f(x) - (mx + n) = (x - \alpha)^2(x - \beta)^2\)의 계수를 비교하여 \(\alpha, \beta\)와 직선 \(l\)의 방정식을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수 \(f(x)\)의 극댓점을 구하고, 극댓점에서의 접선이 직선 \(l\)과 평행함을 보이시오.

[문항 3-3] (7점) [3-1] \(\alpha = 0,\; \beta = 2,\; l : y = 2x + 1\) | [3-2] 극댓점 \((1, 4)\), 기울기 \(2\) | [3-3] \(\dfrac{16}{15}\)

[인하대학교 제9회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 주기성과 대칭성을 갖는 연속함수의 정적분 추론

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 탐구 13094 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(2a - x) = f(x)\)를 만족시키면 그래프는 직선 \(x = a\)에 대하여 대칭이므로 \(\int_0^{2a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx\)가 성립한다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, 정적분의 값을 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.
(조건 1) \(0 \le x \le 2\)에서 \(f(x) = -x^2 + 2x\)이다.
(조건 2) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x)\)이고 \(f(x + 4) = f(x)\)이다.

[문항 4-1] (6점) 구간 \([-2, 2]\)에서 함수 \(f(x)\)의 그래프 개형을 설명하고, 정적분 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 정적분 \(\int_0^{20} f(x)\,dx\)와 \(\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x + 2)f(x)\,dx\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 자연수 \(n\)에 대하여 \(\int_0^{2n} f(x)\,dx = 40\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.

[인하대학교 제9회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 정규분포의 표준화와 표본평균의 확률 추론

확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 13095 변형 | 성취기준: 12확통02-05, 12확통03-01]

<제시문 (가)> 모평균이 \(m\), 모표준편차가 \(\sigma\)인 정규분포 \(N(m, \sigma^2)\)을 따르는 모집단에서 크기가 \(n\)인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 \(\overline{X}\)는 정규분포 \(N\left(m, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\)을 따르며 \(Z = \dfrac{\overline{X} - m}{\sigma / \sqrt{n}}\)은 표준정규분포 \(N(0, 1)\)을 따른다.

어느 공장에서 생산되는 전기차 배터리 셀의 용량 \(X\)는 평균이 \(m = 500\), 표준편차가 \(\sigma = 20\)인 정규분포 \(N(500, 20^2)\)을 따른다고 한다. (단, \(P(0 \le Z \le 1.0) = 0.3413,\; P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332,\; P(0 \le Z \le 2.0) = 0.4772\)) 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 생산된 배터리 셀 중에서 임의로 택한 \(1\)개의 용량 \(X\)가 \(480\) 이상 \(530\) 이하일 확률을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 이 공장에서 크기 \(n = 16\)인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 \(\overline{X}\)의 평균과 표준편차를 구하고 \(P(490 \le \overline{X} \le 505)\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 크기 \(n\)인 표본을 임의추출할 때 \(P(\overline{X} \ge 504) \le 0.0228\)이 성립하도록 하는 최소의 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.

[인하대학교 제9회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.