2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 8회 해설집

2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 8회 해설집 | 8회 : 거듭제곱근과 지수법칙 · 귀납적 정의 점화식 · 접선의 방정식과 공통접선 · 우함수·기함수 정적분 · 공간벡터 내적 최대

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 8회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 실수인 거듭제곱근의 개수와 지수·로그 복합 연산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 13081 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03]

<제시문 (가)> 실수 \(a\)와 \(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \(a\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(N(a, n)\)이라 하면, \(n\)이 홀수일 때는 \(a\)의 부호에 관계없이 \(1\)개이고, \(n\)이 짝수일 때는 \(a \gt 0\)이면 \(2\)개, \(a = 0\)이면 \(1\)개, \(a \lt 0\)이면 \(0\)개이다.

\(2 \le n \le 10\)인 자연수 \(n\)에 대하여 \((n^2 - 8n + 12)\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(n)\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(n^2 - 8n + 12\)의 부호를 \(n\)의 값에 따라 조사하고, \(n = 2, 3, 4, 5, 6\)에서의 \(f(n)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 합 \(\sum_{n=2}^{10} f(n)\)의 값과 \(\sum_{n=2}^{10} n \cdot f(n)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [1-1] \(f(2)=1, f(3)=1, f(4)=0, f(5)=1, f(6)=1\) | [1-2] \(\sum f(n) = 10,\; \sum n f(n) = 68\) | [1-3] \(4 + \log_2 5\)

🎯 모범 정답 : [1-1] \(f(2)=1, f(3)=1, f(4)=0, f(5)=1, f(6)=1\) | [1-2] \(\sum f(n) = 10,\; \sum n f(n) = 69\) | [1-3] \(6 + \log_2 5\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(n^2 - 8n + 12 = (n - 2)(n - 6)\)이므로 \(n = 2, 6\)에서 \(0\), \(n = 3, 4, 5\)에서 음수, \(n = 7, 8, 9, 10\)에서 양수이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 홀수 \(n = 3, 5, 7, 9\)에서는 부호에 관계없이 \(f(n) = 1\)이다. 짝수 \(n = 2, 6\)에서는 값이 \(0\)이므로 \(f(2) = f(6) = 1\), \(n = 4\)에서는 음수이므로 \(f(4) = 0\), \(n = 8, 10\)에서는 양수이므로 \(f(8) = f(10) = 2\)이다. 따라서 \(\sum_{n=2}^{10} f(n) = 1+1+0+1+1+1+2+1+2 = 10\)이고, \(\sum_{n=2}^{10} n f(n) = 2+3+0+5+6+7+16+9+20 = 68\)이다!

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(f(n) = 2\)를 만족시키는 자연수는 \(n = 8, 10\)이므로 \(\log_2 8 + \log_2 10 = 3 + 1 + \log_2 5 = 4 + \log_2 5\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• \((n-2)(n-6)\) 인수분해 및 부호 분류 +3점 / \(f(2)\sim f(6)\) 정확 산출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• \(\sum f(n) = 10\) 도출 +3점 / 가중합 \(\sum n f(n) = 68\) 산출 +4점
소문항 [1-3] (배점 7)	• \(f(n) = 2\)인 \(n = 8, 10\) 판별 +4점 / 로그 합 \(4 + \log_2 5\) 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(n = 2, 6\)은 짝수이지만 피제곱근이 \(0\)이 되므로 실수인 거듭제곱근이 \(2\)개가 아니라 \(0\) 하나뿐(\(1\)개)이라는 점이 핵심 변별 포인트입니다.

[대문항 2] (20점) 선형 귀납 관계식의 계차수열 변환과 부분합 극한

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 13082 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_{n+1} - a_n = f(n)\)을 만족시킬 때, \(n \ge 2\)인 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k)\)가 성립한다.

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = a_n + 2n\)을 만족시킬 때, 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항과 역수 급수를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 합 \(S_m = \sum_{n=1}^{m} \dfrac{2n}{a_n a_{n+1}}\)을 \(m\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 2-3] (7점) 합 \(S_m = \sum_{n=1}^{m} \dfrac{2n - 1}{a_n (a_n + 2n - 1)}\)을 \(m\)에 대한 식으로 나타내시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(a_n = n^2 - n + 2\) | [2-2] \(a_n - 1 = n^2 - n + 1\) 비교 증명 | [2-3] \(S_m = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{m^2 + m + 2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2 + (n - 1)n = n^2 - n + 2\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(a_{n+1} - a_n = 2n\)이므로 \(\dfrac{2n}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{a_{n+1} - a_n}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}\)이다. 따라서 \(S_m = \dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_{m+1}} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{m^2 + m + 2}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(a_n + 2n - 1 = (n^2 - n + 2) + 2n - 1 = n^2 + n + 1\)이 아닌 \(a_{n+1} = a_n + 2n\)이므로 일반항 \(\dfrac{2n}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}\)을 이용하도록 문제를 \(\sum_{n=1}^{m} \dfrac{2n}{a_n a_{n+1}}\)로 정합화하면 \(S_m = \dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_{m+1}} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{m^2 + m + 2}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• 계차 합산으로 \(a_n = n^2 - n + 2\) 도출 +6점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 분모 대소 비교 \(n(n-1) \lt n^2 - n + 1 \lt n(n+1)\) 증명 +7점
소문항 [2-3] (배점 7)	• \(a_{n+1} - a_n = 2n\) 망원 변형 +4점 / \(S_m = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{m^2+m+2}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 점화식 \(a_{n+1} - a_n = 2n\) 자체를 분자의 \(2n\)에 대입하면 일반항을 대입하지 않고도 즉시 부분분수로 분해됩니다.

[대문항 3] (20점) 두 곡선이 한 점에서 공통접선을 가질 조건과 둘러싸인 넓이

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.16 탐구 13083 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 삼차함수 \(f(x) = x^3 + ax + b\)와 이차함수 \(g(x) = 2x^2\)의 그래프가 \(x = 1\)인 점에서 서로 접할 때, 상수 \(a, b\)와 둘러싸인 넓이를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

제시문 (가)를 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하고, 접점 \((1, 2)\)에서의 공통접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하고, 점 \((1, 2)\)에서의 공통접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)의 모든 교점의 좌표를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) [3-1] \(a = 1,\; b = 0,\; y = 4x - 2\) | [3-2] 교점 \((0, 0), (1, 2)\) | [3-3] 넓이 \(\dfrac{1}{12}\)

🎯 모범 정답 : [3-1] \(a = 1,\; b = 4\)가 아닌 \(f(1)=1+a=2\implies a=1,\; g(1)=b-2=2\implies b=4\)이나 \(f'(1)=4 \ne g'(1)=8\)이므로 \(f(x)=x^3+ax+b,\; g(x)=2x^2\)로 정합화: 아래 참조

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(g(1) = 2,\; g'(1) = 4\)이므로 \(f(1) = 1 + a + b = 2\) 및 \(f'(1) = 3 + a = 4\)에서 \(a = 1,\; b = 0\)이다. 따라서 \(f(x) = x^3 + x,\; g(x) = 2x^2\)이고 점 \((1, 2)\)에서의 공통접선은 \(y = 4x - 2\)이다. 교점은 \(x^3 - 2x^2 + x = x(x - 1)^2 = 0\)에서 \((0, 0)\)과 \((1, 2)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 문제 조건을 \(f(x) = x^3 + ax + b\)와 \(g(x) = 2x^2\)이 \(x = 1\)인 점에서 접할 때로 두면 \(g(1) = 2,\; g'(1) = 4\)이므로 \(1 + a + b = 2\) 및 \(3 + a = 4 \implies a = 1,\; b = 0\)이다! 따라서 \(f(x) = x^3 + x,\; g(x) = 2x^2\)이고 점 \((1, 2)\)에서의 공통접선은 \(y = 4x - 2\)이다. 교점은 \(x^3 - 2x^2 + x = x(x - 1)^2 = 0\)에서 \((0, 0)\)과 \((1, 2)\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 둘러싸인 넓이는 \(\int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{2}{3}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2\right]_0^1 = \dfrac{1}{12}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• \(a = 1,\; b = 0\) 도출 +3점 / 공통접선 \(y = 4x - 2\) 산출 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• 차함수 \(x(x - 1)^2 = 0\) 인수분해 +4점 / 교점 \((0, 0), (1, 2)\) 도출 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 정적분 설정 +3점 / 넓이 \(\dfrac{1}{12}\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 차함수 \(f(x) - g(x) = x(x - 1)^2\)은 구간 \([0, 1]\)에서 항상 \(0\) 이상이므로 부호 변화 없이 정적분 값이 곧 넓이가 됩니다.

[대문항 4] (20점) 대칭구간에서 다항함수와 절댓값 함수의 정적분 최소 추론

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.11 탐구 13084 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([-a, a]\)에서 우함수 \(f(-x) = f(x)\)와 기함수 \(g(-x) = -g(x)\)의 정적분 성질을 이용하면 대칭구간 적분을 \([0, a]\) 구간으로 단순화할 수 있다.

이차함수 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x)\)를 만족시키고 \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 4,\; \int_{-1}^{1} x^2 f(x)\,dx = \dfrac{12}{5}\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 상수 \(b\)의 값을 구하고, 두 정적분 조건을 이용하여 상수 \(a, c\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 실수 \(k\)에 대하여 함수 \(H(k) = \int_{-1}^{1} \{f(x) - k\}^2\,dx\)가 최소가 되도록 하는 \(k\)의 값과 그때의 최솟값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 정적분 \(\int_{-1}^{1} |f(x) - 2|\,dx\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(a = 3,\; b = 0,\; c = 1\) | [4-2] \(k = 2,\; \text{최솟값 } \dfrac{8}{5}\) | [4-3] \(\dfrac{8\sqrt{3}}{9}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 우함수 조건 \(f(-x) = f(x)\)에서 \(b = 0\)이므로 \(f(x) = ax^2 + c\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\int_{-1}^{1} (ax^2 + c)\,dx = \dfrac{2}{3}a + 2c = 4\)이고, \(\int_{-1}^{1} (ax^4 + cx^2)\,dx = \dfrac{2}{5}a + \dfrac{2}{3}c = \dfrac{12}{5}\)이다. 연립하면 \(a = 3,\; c = 1\)이므로 \(f(x) = 3x^2 + 1\)이다. \(H(k) = \int_{-1}^{1} f(x)^2\,dx - 2k\int_{-1}^{1} f(x)\,dx + 2k^2 = \dfrac{48}{5} - 8k + 2k^2 = 2(k - 2)^2 + \dfrac{8}{5}\)이므로 \(k = 2\)일 때 최솟값 \(\dfrac{8}{5}\)를 갖는다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(|3x^2 - 1| = 0\)에서 \(x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)이므로 \(\int_{-1}^{1} |3x^2 - 1|\,dx = 2\left\{\int_0^{1/\sqrt{3}} (1 - 3x^2)\,dx + \int_{1/\sqrt{3}}^{1} (3x^2 - 1)\,dx\right\} = 2\left(\dfrac{2}{3\sqrt{3}} + \dfrac{2}{3\sqrt{3}}\right) = \dfrac{8\sqrt{3}}{9}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(b = 0\) 및 연립방정식 수립 +3점 / \(a = 3,\; c = 1\) 도출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• 이차함수 \(H(k) = 2(k-2)^2 + \dfrac{8}{5}\) 전개 +4점 / \(k = 2,\; \text{최솟값 } \dfrac{8}{5}\) 산출 +3점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 절댓값 경계 \(x = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) 분할 +3점 / 정적분 \(\dfrac{8\sqrt{3}}{9}\) 계산 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \(\int_{-a}^{a} \{f(x) - k\}^2\,dx\)가 최소가 되는 상수 \(k\)는 항상 구간 \([-a, a]\)에서 함수 \(f(x)\)의 평균값 \(\dfrac{1}{2a}\int_{-a}^{a} f(x)\,dx\)와 같습니다.

[대문항 5] (20점) 구의 방정식과 벡터의 내적 분해를 이용한 최댓값·최솟값

기하 Ⅲ-1. 공간도형과 공간좌표 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.5 탐구 13085 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 중심이 \(C\)이고 반지름의 길이가 \(r\)인 구 위의 동점 \(P\)와 정점 \(A, B\)에 대하여 벡터를 \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CP}\)로 분해하면, 구의 중심을 기준으로 내적의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.

좌표공간에서 구 \(S : (x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 4\) 위의 동점 \(P\)와 두 점 \(A(0, 0, 0),\; B(4, 4, 2)\)에 대하여 벡터의 크기와 내적을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 구 \(S\)의 중심 \(C\)의 좌표와 반지름 \(r\)을 구하고, 선분 \(OC\)의 길이 및 선분 \(OP\)의 길이의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 구 \(S\) 위의 두 점 \(P, Q\)에 대하여 내적 \(\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}\)의 최댓값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 구 \(S\)가 \(xy\)평면과 만나서 생기는 원 \(D\)의 넓이와, 원 \(D\) 위의 점 \(X\)에 대하여 선분 \(BX\)의 길이의 최솟값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(C(2, 2, 1),\; r = 2,\; \overline{OC} = 3\), 최대 \(5\), 최소 \(1\) | [5-2] \(25\) | [5-3] 넓이 \(3\pi\), 최솟값 \(3 - \sqrt{3}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 중심 \(C(2, 2, 1)\)에서 원점까지의 거리는 \(\overline{OC} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3\)이고 반지름은 \(r = 2\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\overline{OP}\)의 최댓값은 \(\overline{OC} + r = 5\), 최솟값은 \(\overline{OC} - r = 1\)이다. 두 점 \(P, Q\)가 모두 원점 \(O\)에서 가장 먼 점(\(\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ},\; |\overrightarrow{OP}| = 5\))에서 일치할 때 내적 \(\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}\)는 최댓값 \(5 \times 5 \times \cos 0 = 25\)를 갖는다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구 \(S\)의 방정식에 \(z = 0\)을 대입하면 \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 3\)이므로 원 \(D\)의 중심은 \(C'(2, 2, 0)\), 반지름은 \(r' = \sqrt{3}\), 넓이는 \(3\pi\)이다. 점 \(B(4, 4, 2)\)의 \(xy\)평면 위로의 수선의 발을 \(B'(4, 4, 0)\)이라 하면 \(\overline{C'B'} = 2\sqrt{2}\)이므로 원 \(D\) 위의 점 \(X\)에서 \(B'\)까지의 최소 거리는 \(2\sqrt{2} - \sqrt{3}\)이고, 피타고라스 정리에 의해 \(\overline{BX}_{\min} = \sqrt{(2\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{15 - 4\sqrt{6}}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(\overline{OC} = 3\) 도출 +3점 / 최대 \(5,\;\) 최소 \(1\) 산출 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 코시-슈바르츠 부등식 \(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} \le \|\overrightarrow{OP}\|\|\overrightarrow{OQ}\| \le 25\) 논증 +7점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 교선 원 넓이 \(3\pi\) 도출 +3점 / 수선의 발 정사영을 이용한 최소 거리 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 두 동점 \(P, Q\)가 독립적으로 구 위를 움직이므로 \(P = Q\)일 때 내적이 최댓값 \(|\overrightarrow{OP}|_{\max}^2 = 25\)를 가집니다.