2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 8회 문제집

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 8회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 실수인 거듭제곱근의 개수와 지수·로그 복합 연산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 13081 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-03]

<제시문 (가)> 실수 \(a\)와 \(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \(a\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(N(a, n)\)이라 하면, \(n\)이 홀수일 때는 \(a\)의 부호에 관계없이 \(1\)개이고, \(n\)이 짝수일 때는 \(a \gt 0\)이면 \(2\)개, \(a = 0\)이면 \(1\)개, \(a \lt 0\)이면 \(0\)개이다.

\(2 \le n \le 10\)인 자연수 \(n\)에 대하여 \((n^2 - 8n + 12)\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(n)\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(n^2 - 8n + 12\)의 부호를 \(n\)의 값에 따라 조사하고, \(n = 2, 3, 4, 5, 6\)에서의 \(f(n)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 합 \(\sum_{n=2}^{10} f(n)\)의 값과 \(\sum_{n=2}^{10} n \cdot f(n)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [1-1] \(f(2)=1, f(3)=1, f(4)=0, f(5)=1, f(6)=1\) | [1-2] \(\sum f(n) = 10,\; \sum n f(n) = 68\) | [1-3] \(4 + \log_2 5\)

[인하대학교 제8회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 선형 귀납 관계식의 계차수열 변환과 부분합 극한

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 13082 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_{n+1} - a_n = f(n)\)을 만족시킬 때, \(n \ge 2\)인 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k)\)가 성립한다.

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = a_n + 2n\)을 만족시킬 때, 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항과 역수 급수를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 합 \(S_m = \sum_{n=1}^{m} \dfrac{2n}{a_n a_{n+1}}\)을 \(m\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 2-3] (7점) 합 \(S_m = \sum_{n=1}^{m} \dfrac{2n - 1}{a_n (a_n + 2n - 1)}\)을 \(m\)에 대한 식으로 나타내시오.

[인하대학교 제8회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 두 곡선이 한 점에서 공통접선을 가질 조건과 둘러싸인 넓이

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.16 탐구 13083 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 삼차함수 \(f(x) = x^3 + ax + b\)와 이차함수 \(g(x) = 2x^2\)의 그래프가 \(x = 1\)인 점에서 서로 접할 때, 상수 \(a, b\)와 둘러싸인 넓이를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

제시문 (가)를 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하고, 접점 \((1, 2)\)에서의 공통접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하고, 점 \((1, 2)\)에서의 공통접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)의 모든 교점의 좌표를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) [3-1] \(a = 1,\; b = 0,\; y = 4x - 2\) | [3-2] 교점 \((0, 0), (1, 2)\) | [3-3] 넓이 \(\dfrac{1}{12}\)

[인하대학교 제8회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 대칭구간에서 다항함수와 절댓값 함수의 정적분 최소 추론

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.11 탐구 13084 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([-a, a]\)에서 우함수 \(f(-x) = f(x)\)와 기함수 \(g(-x) = -g(x)\)의 정적분 성질을 이용하면 대칭구간 적분을 \([0, a]\) 구간으로 단순화할 수 있다.

이차함수 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x)\)를 만족시키고 \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 4,\; \int_{-1}^{1} x^2 f(x)\,dx = \dfrac{12}{5}\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 상수 \(b\)의 값을 구하고, 두 정적분 조건을 이용하여 상수 \(a, c\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 실수 \(k\)에 대하여 함수 \(H(k) = \int_{-1}^{1} \{f(x) - k\}^2\,dx\)가 최소가 되도록 하는 \(k\)의 값과 그때의 최솟값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 정적분 \(\int_{-1}^{1} |f(x) - 2|\,dx\)의 값을 구하시오.

[인하대학교 제8회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 구의 방정식과 벡터의 내적 분해를 이용한 최댓값·최솟값

기하 Ⅲ-1. 공간도형과 공간좌표 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.5 탐구 13085 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 중심이 \(C\)이고 반지름의 길이가 \(r\)인 구 위의 동점 \(P\)와 정점 \(A, B\)에 대하여 벡터를 \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CP}\)로 분해하면, 구의 중심을 기준으로 내적의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.

좌표공간에서 구 \(S : (x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 4\) 위의 동점 \(P\)와 두 점 \(A(0, 0, 0),\; B(4, 4, 2)\)에 대하여 벡터의 크기와 내적을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 구 \(S\)의 중심 \(C\)의 좌표와 반지름 \(r\)을 구하고, 선분 \(OC\)의 길이 및 선분 \(OP\)의 길이의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 구 \(S\) 위의 두 점 \(P, Q\)에 대하여 내적 \(\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}\)의 최댓값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 구 \(S\)가 \(xy\)평면과 만나서 생기는 원 \(D\)의 넓이와, 원 \(D\) 위의 점 \(X\)에 대하여 선분 \(BX\)의 길이의 최솟값을 구하시오.

[인하대학교 제8회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.