2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 7회 해설집

2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 7회 해설집 | 7회 : 부분분수 망원급수 · 삼각방정식 치환 실근 · 롤·평균값 정리 · 역함수 정적분 넓이 · 타원 초점 삼각형

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 등차수열의 곱의 역수 급수와 부분분수 망원합 추론

대수 Ⅲ-2. 수열의 합 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 13071 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]

<제시문 (가)> 첫째항이 \(a\), 공차가 \(d\) (\(d \ne 0\))인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\dfrac{1}{a_k a_{k+1}} = \dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_k} - \dfrac{1}{a_{k+1}}\right)\)로 변형하면 첫째항과 끝항만 남는 망원급수 합을 구할 수 있다.

첫째항이 \(1\), 공차가 \(2\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 수열의 합 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}}\)과 가중합을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 부분합 \(S_n\)을 \(n\)에 대한 기약분수 식으로 나타내시오.

[문항 1-2] (7점) 합 \(T_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{a_k + a_{k+1}}{a_k^2 a_{k+1}^2}\)을 \(n\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 1-3] (7점) 부등식 \(S_n + T_n \gt \dfrac{99}{100}\)를 만족시키는 최소의 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(a_n = 2n - 1,\; S_n = \dfrac{n}{2n + 1}\) | [1-2] \(T_n = \dfrac{n(n + 1)}{(2n + 1)^2}\)이 아닌 \(\dfrac{1}{4}\left(1 - \dfrac{1}{(2n+1)^2}\right) = \dfrac{n(n+1)}{(2n+1)^2}\) | [1-3] \(n = 7\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(a_k = 2k - 1,\; a_{k+1} = 2k + 1\)이고 \(a_{k+1} - a_k = 2\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(S_n = \dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right) = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{2n+1}\right) = \dfrac{n}{2n+1}\)이다. 또한 \(a_{k+1}^2 - a_k^2 = 2(a_k + a_{k+1})\)이므로 \(\dfrac{a_k+a_{k+1}}{a_k^2 a_{k+1}^2} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a_k^2}-\dfrac{1}{a_{k+1}^2}\right)\)에서 \(T_n = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{(2n+1)^2}\right) = \dfrac{2n(n+1)}{(2n+1)^2}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(S_n + T_n = \dfrac{1}{2}\left(2 - \dfrac{1}{2n+1} - \dfrac{1}{(2n+1)^2}\right) = 1 - \dfrac{2n + 2}{2(2n+1)^2} = 1 - \dfrac{n + 1}{(2n+1)^2} \gt 1 - \dfrac{1}{100} \iff \dfrac{(2n+1)^2}{n+1} \gt 100\)이다. \(n = 24\)일 때 \(\dfrac{49^2}{25} = \dfrac{2401}{25} = 96.04 \lt 100\), \(n = 25\)일 때 \(\dfrac{51^2}{26} = \dfrac{2601}{26} \gt 100\)이므로 최소 자연수는 \(n = 25\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• \(a_n = 2n - 1\) 도출 +2점 / \(S_n = \dfrac{n}{2n+1}\) 산출 +4점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 제곱차 망원 변형 \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a_k^2}-\dfrac{1}{a_{k+1}^2}\right)\) +4점 / \(T_n = \dfrac{2n(n+1)}{(2n+1)^2}\) 도출 +3점
소문항 [1-3] (배점 7)	• \(1 - \dfrac{n+1}{(2n+1)^2} \gt \dfrac{99}{100}\) 정리 +4점 / 최소 자연수 \(n = 25\) 확정 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(a_{k+1}^2 - a_k^2 = (a_{k+1}-a_k)(a_{k+1}+a_k) = 2(a_k+a_{k+1})\) 항등식을 이용하면 제곱 역수 망원급수로 즉시 분해됩니다.

[대문항 2] (20점) 삼각함수의 치환을 이용한 최대·최소와 방정식의 실근의 개수

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 13072 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 삼각함수의 기본 항등식 \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)을 이용하면 \(y = a\cos^2 x + b\sin x + c\) 꼴의 함수는 \(t = \sin x\) (\(-1 \le t \le 1\))에 대한 이차함수로 변환하여 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.

닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = -\cos^2 x + 2\sin x + 2\)와 방정식 \(f(x) = k\)의 실근을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 방정식 \(f(x) = \dfrac{9}{4}\)의 서로 다른 모든 실근과 그 합을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 방정식 \(f(x) = 2\)의 서로 다른 모든 실근과 그 합을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) [2-1] \(g(t) = t^2 + 2t + 1 = (t+1)^2\), 최댓값 \(4\), 최솟값 \(0\) | [2-2] 실근 \(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\), 합 \(\pi\) | [2-3] \(k=0,4\)일 때 \(1\)개, \(k=1\)일 때 \(3\)개, \(0 \lt k \lt 4\) (\(k \ne 1\))일 때 \(2\)개

🎯 모범 정답 : [2-1] \(g(t) = t^2 + 2t + 1 = (t+1)^2\), 최댓값 \(4\), 최솟값 \(0\) | [2-2] 실근 \(\pi - \arcsin(\sqrt{2}-1)\) 대신 \(f(x) = -\cos^2 x + \sin x + 1\) 정합: 아래 참조 | [2-3] 실근 개수 분류

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 \(t = \sin x \in [-1, 1]\)에 대한 이차함수로 정리한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(g(t) = t^2 + 2t + 1 = (t + 1)^2\)이므로 \(t = 1\) (\(\sin x = 1\))일 때 최댓값 \(4\), \(t = -1\) (\(\sin x = -1\))일 때 최솟값 \(0\)이다. \(f(x) = \dfrac{9}{4}\)일 때 \((t + 1)^2 = \dfrac{9}{4} \implies t = \dfrac{1}{2}\) (\(-1 \le t \le 1\))이므로 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\)의 두 실근은 \(x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\)이며 합은 \(\pi\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(g(t) = (t + 1)^2\)은 \([-1, 1]\)에서 치역이 \([0, 4]\)인 일대일 증가함수이므로 \(k = 0\) (\(t = -1\)) 또는 \(k = 4\) (\(t = 1\))일 때 실근 \(1\)개, \(k = 1\) (\(t = 0\))일 때 \(x = 0, \pi, 2\pi\)로 \(3\)개, \(0 \lt k \lt 4\) (\(k \ne 1\))일 때 \(2\)개, \(k \lt 0\) 또는 \(k \gt 4\)일 때 \(0\)개이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• \(g(t) = (t+1)^2\) 도출 +3점 / 최댓값 \(4,\;\) 최솟값 \(0\) 산출 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• \(t = \dfrac{1}{2}\) 도출 +3점 / 두 실근 \(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\) 및 합 \(\pi\) 계산 +4점
소문항 [2-3] (배점 7)	• \(t = 0\) (\(k = 1\)) 경계 \(3\)개 판별 +4점 / 전체 \(k\) 구간별 실근 개수 분류 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 치환 변수 \(t = \sin x\)가 \(t = 0\)일 때는 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 \(x = 0, \pi, 2\pi\)의 \(3\)개 실근이 대응한다는 점을 놓치지 말아야 합니다.

[대문항 3] (20점) 삼차함수의 극값 존재 조건과 극댓값·극솟값의 차 공식

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 탐구 13073 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 \(a\)인 삼차함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x) = 3a(x - \alpha)(x - \beta)\) (\(\alpha \lt \beta\))가 서로 다른 두 실근을 가질 때, 극댓값과 극솟값의 차는 \(|f(\alpha) - f(\beta)| = \left|\int_\alpha^\beta f'(x)\,dx\right| = \dfrac{|a|}{2}(\beta - \alpha)^3\)이다.

삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3kx^2 + 3(k^2 - 1)x + 2\) (\(k\)는 실수)의 극대·극소와 변곡점을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 실수 \(k\)의 값에 관계없이 함수 \(f(x)\)가 항상 극댓값과 극솟값을 가짐을 보이시오.

[문항 3-2] (7점) 곡선 \(y = f(x)\)의 극댓점 \(P\)와 극솟점 \(Q\)를 잇는 선분 \(PQ\)의 중점 \(M\)이 직선 \(y = -2x + 2\) 위에 있을 때, 양의 상수 \(k\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) [3-1] \(f'(x) = 3(x - k + 1)(x - k - 1)\), 항상 두 실근 | [3-2] 극값 차 \(4\) | [3-3] \(k = 1\)

🎯 모범 정답 : [3-1] \(f'(x) = 3(x - k + 1)(x - k - 1)\), 항상 두 실근 | [3-2] 극값 차 \(4\) | [3-3] \(k = 2\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f'(x) = 3x^2 - 6kx + 3(k^2 - 1) = 3\{(x - k)^2 - 1\} = 3(x - k + 1)(x - k - 1)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 중점 \(M\)은 삼차함수의 변곡점이므로 \(x\)좌표는 \(k\)이고 \(y\)좌표는 \(f(k) = k^3 - 3k^3 + 3k^3 - 3k + 2 = k^3 - 3k + 2\)이다. 점 \(M(k, k^3 - 3k + 2)\)가 직선 \(y = -2x + 2\) 위에 있으므로 \(k^3 - 3k + 2 = -2k + 2 \implies k(k^2 - 1) = 0\)에서 양수 \(k = 1\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 중점 \(M\)의 \(x\)좌표는 \(k\)이고 \(y\)좌표는 \(f(k) = k^3 - 3k^3 + 3k^3 - 3k + 2 = k^3 - 3k + 2\)이다. 점 \(M(k, k^3 - 3k + 2)\)가 직선 \(y = 2x - 6\) 위에 있으므로 \(k^3 - 3k + 2 = 2k - 6 \implies k^3 - 5k + 8 = 0\) 대신 직선 \(y = -2x + 2\)로 두면 \(k^3 - 3k + 2 = -2k + 2 \implies k(k^2 - 1) = 0\)이고 양수 \(k = 1\)이다!

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• \(f'(x) = 3(x-k+1)(x-k-1)\) 인수분해 +3점 / 두 실근 존재 논증 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(\beta - \alpha = 2\) 산출 +3점 / 극값 차 \(4\) 계산 +4점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 중점 \(M(k, k^3 - 3k + 2)\) 유도 +4점 / 직선 대입으로 \(k\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수의 극댓점과 극솟점의 중점은 곧 곡선의 대칭 중심인 변곡점 \((k, f(k))\)와 일치합니다.

[대문항 4] (20점) 원래 함수와 역함수의 정적분 합과 기하적 넓이 분할

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 13074 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 증가하는 연속함수 \(y = f(x)\)의 역함수를 \(y = f^{-1}(x)\)라 할 때, 직선 \(y = x\)에 대한 대칭성에 의하여 \(\int_a^b f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)\,dx = b f(b) - a f(a)\)가 성립한다.

실수 전체의 집합에서 증가하는 삼차함수 \(f(x) = x^3 + x + 1\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때, 역함수의 정적분과 둘러싸인 넓이를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = x\) 및 두 직선 \(x = 0,\; x = 2\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(A\)를 구하고, 이를 이용하여 정적분 \(\int_0^2 \{f(x) - g(x)\}\,dx\)가 아닌 곡선 \(y = f(x)\), \(y = g(x)\)와 직선 \(x + y = 1,\; x + y = 13\) 대신 \(\int_1^{11} \{x - g(x)\}\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 곡선 \(y = f(x)\)와 그 역함수 \(y = g(x)\) 및 두 직선 \(x + y = 1,\; x + y = 13\)으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) [4-1] \(f(0)=1, f(1)=3, f(2)=11,\; \int_1^{11} g(x)\,dx = 14\) | [4-2] \(A = 6,\; \int_1^{11} \{x - g(x)\}\,dx = 46\) | [4-3] \(y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{4}\), 넓이 \(\dfrac{1}{8}\)

🎯 모범 정답 : [4-1] \(f(0)=1, f(1)=3, f(2)=11,\; \int_1^{11} g(x)\,dx = 14\) | [4-2] 넓이 \(22\) | [4-3] \(y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{4}\), 넓이 \(\dfrac{1}{8}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\int_0^2 (x^3 + x + 1)\,dx = 8\)이므로 \(\int_1^{11} g(x)\,dx = 2 \times 11 - 0 \times 1 - 8 = 14\)이다. \(A = \int_0^2 (x^3 + 1)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 + x\right]_0^2 = 6\)이고, \(\int_1^{11} (x - g(x))\,dx = \left[\dfrac{1}{2}x^2\right]_1^{11} - 14 = 60 - 14 = 46\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\int_0^2 (x^3 + x + 1)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{2}x^2 + x\right]_0^2 = 4 + 2 + 2 = 8\)이므로 \(\int_1^{11} g(x)\,dx = 2 \times 11 - 0 \times 1 - 8 = 14\)이다. 직선 \(x + y = 1\)은 \((0,1),(1,0)\)을 지나고 \(x + y = 13\)은 \((2,11),(11,2)\)를 지나므로 사다리꼴 넓이 \(\dfrac{1}{2}(1 + 9)\times \dots\) 또는 대칭성을 이용해 \(2\int_0^2 (f(x) - x)\,dx\)에 양 끝 직각삼각형을 보정한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(g(3) = 1\)이고 \(g'(3) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{4}\)이므로 접선은 \(y - 1 = \dfrac{1}{4}(x - 3) \implies y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{4}\)이며, 절편이 \(-1, \dfrac{1}{4}\)이므로 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 1 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(f(0)=1,\; f(2)=11\) 확인 +2점 / 직사각형 차 공식으로 \(\int_1^{11} g(x)\,dx = 14\) 도출 +4점
소문항 [4-2] (배점 7)	• 대칭 영역 정적분 설정 +4점 / 둘러싸인 넓이 산출 +3점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 역함수 미분계수 \(g'(3) = \dfrac{1}{4}\) 도출 +4점 / 접선 및 삼각형 넓이 \(\dfrac{1}{8}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수 \(f(x) = x^3 + x + 1\)의 역함수 식을 직접 구할 수 없으므로 반드시 \(y = x\) 대칭 직사각형 넓이 공식을 활용해야 합니다.

[대문항 5] (20점) 타원의 초점 정의와 코사인법칙을 이용한 초점삼각형 넓이

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.9 탐구 13075 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 타원 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) (\(a \gt b \gt 0\))의 두 초점 \(F(c, 0), F'(-c, 0)\) (\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\))에 대하여 타원 위의 임의의 점 \(P\)는 \(\overline{PF} + \overline{PF'} = 2a\)를 만족시킨다.

타원 \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1\)의 두 초점을 \(F, F'\)이라 하고, 타원 위의 제1사분면의 점 \(P\)가 \(\angle F'PF = \dfrac{\pi}{3}\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 타원의 장축의 길이 \(2a\)와 두 초점 사이의 거리 \(\overline{FF'} = 2c\)를 구하고, 코사인법칙을 이용하여 \(\overline{PF} \cdot \overline{PF'}\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 삼각형 \(PF'F\)의 넓이 \(S\)와 점 \(P\)의 \(y\)좌표를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 삼각형 \(PF'F\)의 내접원의 반지름 \(r\)과 외접원의 반지름 \(R\)을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(2a = 10,\; 2c = 8,\; \overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 12\) | [5-2] \(S = 3\sqrt{3},\; y_P = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\) | [5-3] \(r = \dfrac{\sqrt{3}}{3},\; R = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(a = 5, b = 3 \implies c = 4\)이므로 \(\overline{PF} + \overline{PF'} = 10\)이고 \(\overline{FF'} = 8\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 코사인법칙에서 \(8^2 = \overline{PF}^2 + \overline{PF'}^2 - \overline{PF}\cdot\overline{PF'} = (\overline{PF}+\overline{PF'})^2 - 3\overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 100 - 3\overline{PF}\cdot\overline{PF'}\)이므로 \(\overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 12\)이다. 따라서 \(S = \dfrac{1}{2} \times 12 \sin\dfrac{\pi}{3} = 3\sqrt{3}\)이고, \(\dfrac{1}{2} \times 8 \times y_P = 3\sqrt{3} \implies y_P = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 삼각형 \(PF'F\)의 둘레의 길이는 \(10 + 8 = 18\)이므로 \(\dfrac{1}{2} \times 18 \times r = 3\sqrt{3} \implies r = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)이고, 사인법칙에서 \(R = \dfrac{8}{2\sin(\pi/3)} = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(2a = 10,\; 2c = 8\) 도출 +2점 / 코사인법칙으로 \(\overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 12\) 산출 +4점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 넓이 \(S = 3\sqrt{3}\) 계산 +4점 / \(y_P = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\) 도출 +3점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 내접원 반지름 \(r = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 산출 +4점 / 외접원 반지름 \(R = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(\overline{PF}, \overline{PF'}\)를 각각 구하지 않고 곱셈 공식 변형 \(p^2 + q^2 - pq = (p+q)^2 - 3pq\)를 쓰면 곱 \(pq = 12\)를 한 줄에 얻을 수 있습니다.