2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 7회 문제집

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 등차수열의 곱의 역수 급수와 부분분수 망원합 추론

대수 Ⅲ-2. 수열의 합 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 13071 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]

<제시문 (가)> 첫째항이 \(a\), 공차가 \(d\) (\(d \ne 0\))인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\dfrac{1}{a_k a_{k+1}} = \dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_k} - \dfrac{1}{a_{k+1}}\right)\)로 변형하면 첫째항과 끝항만 남는 망원급수 합을 구할 수 있다.

첫째항이 \(1\), 공차가 \(2\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 수열의 합 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}}\)과 가중합을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 부분합 \(S_n\)을 \(n\)에 대한 기약분수 식으로 나타내시오.

[문항 1-2] (7점) 합 \(T_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{a_k + a_{k+1}}{a_k^2 a_{k+1}^2}\)을 \(n\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 1-3] (7점) 부등식 \(S_n + T_n \gt \dfrac{99}{100}\)를 만족시키는 최소의 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.

[인하대학교 제7회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 삼각함수의 치환을 이용한 최대·최소와 방정식의 실근의 개수

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 13072 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 삼각함수의 기본 항등식 \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)을 이용하면 \(y = a\cos^2 x + b\sin x + c\) 꼴의 함수는 \(t = \sin x\) (\(-1 \le t \le 1\))에 대한 이차함수로 변환하여 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.

닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = -\cos^2 x + 2\sin x + 2\)와 방정식 \(f(x) = k\)의 실근을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 방정식 \(f(x) = \dfrac{9}{4}\)의 서로 다른 모든 실근과 그 합을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 방정식 \(f(x) = 2\)의 서로 다른 모든 실근과 그 합을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) [2-1] \(g(t) = t^2 + 2t + 1 = (t+1)^2\), 최댓값 \(4\), 최솟값 \(0\) | [2-2] 실근 \(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\), 합 \(\pi\) | [2-3] \(k=0,4\)일 때 \(1\)개, \(k=1\)일 때 \(3\)개, \(0 \lt k \lt 4\) (\(k \ne 1\))일 때 \(2\)개

[인하대학교 제7회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 삼차함수의 극값 존재 조건과 극댓값·극솟값의 차 공식

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 탐구 13073 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 \(a\)인 삼차함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x) = 3a(x - \alpha)(x - \beta)\) (\(\alpha \lt \beta\))가 서로 다른 두 실근을 가질 때, 극댓값과 극솟값의 차는 \(|f(\alpha) - f(\beta)| = \left|\int_\alpha^\beta f'(x)\,dx\right| = \dfrac{|a|}{2}(\beta - \alpha)^3\)이다.

삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3kx^2 + 3(k^2 - 1)x + 2\) (\(k\)는 실수)의 극대·극소와 변곡점을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 실수 \(k\)의 값에 관계없이 함수 \(f(x)\)가 항상 극댓값과 극솟값을 가짐을 보이시오.

[문항 3-2] (7점) 곡선 \(y = f(x)\)의 극댓점 \(P\)와 극솟점 \(Q\)를 잇는 선분 \(PQ\)의 중점 \(M\)이 직선 \(y = -2x + 2\) 위에 있을 때, 양의 상수 \(k\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) [3-1] \(f'(x) = 3(x - k + 1)(x - k - 1)\), 항상 두 실근 | [3-2] 극값 차 \(4\) | [3-3] \(k = 1\)

[인하대학교 제7회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 원래 함수와 역함수의 정적분 합과 기하적 넓이 분할

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 13074 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 증가하는 연속함수 \(y = f(x)\)의 역함수를 \(y = f^{-1}(x)\)라 할 때, 직선 \(y = x\)에 대한 대칭성에 의하여 \(\int_a^b f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)\,dx = b f(b) - a f(a)\)가 성립한다.

실수 전체의 집합에서 증가하는 삼차함수 \(f(x) = x^3 + x + 1\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때, 역함수의 정적분과 둘러싸인 넓이를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = x\) 및 두 직선 \(x = 0,\; x = 2\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(A\)를 구하고, 이를 이용하여 정적분 \(\int_0^2 \{f(x) - g(x)\}\,dx\)가 아닌 곡선 \(y = f(x)\), \(y = g(x)\)와 직선 \(x + y = 1,\; x + y = 13\) 대신 \(\int_1^{11} \{x - g(x)\}\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 곡선 \(y = f(x)\)와 그 역함수 \(y = g(x)\) 및 두 직선 \(x + y = 1,\; x + y = 13\)으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) [4-1] \(f(0)=1, f(1)=3, f(2)=11,\; \int_1^{11} g(x)\,dx = 14\) | [4-2] \(A = 6,\; \int_1^{11} \{x - g(x)\}\,dx = 46\) | [4-3] \(y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{4}\), 넓이 \(\dfrac{1}{8}\)

[인하대학교 제7회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 타원의 초점 정의와 코사인법칙을 이용한 초점삼각형 넓이

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.9 탐구 13075 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 타원 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) (\(a \gt b \gt 0\))의 두 초점 \(F(c, 0), F'(-c, 0)\) (\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\))에 대하여 타원 위의 임의의 점 \(P\)는 \(\overline{PF} + \overline{PF'} = 2a\)를 만족시킨다.

타원 \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1\)의 두 초점을 \(F, F'\)이라 하고, 타원 위의 제1사분면의 점 \(P\)가 \(\angle F'PF = \dfrac{\pi}{3}\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 타원의 장축의 길이 \(2a\)와 두 초점 사이의 거리 \(\overline{FF'} = 2c\)를 구하고, 코사인법칙을 이용하여 \(\overline{PF} \cdot \overline{PF'}\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 삼각형 \(PF'F\)의 넓이 \(S\)와 점 \(P\)의 \(y\)좌표를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 삼각형 \(PF'F\)의 내접원의 반지름 \(r\)과 외접원의 반지름 \(R\)을 각각 구하시오.

[인하대학교 제7회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.