2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 6회 해설집

2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 6회 해설집 | 6회 : 로그 치환 부등식 · 내접 삼각형 사인·코사인 · 미분계수 정의와 접선 · 정적분 함수 극값 · 중복조합 부정방정식

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 6회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 로그부등식의 해집합과 정수해의 개수 및 밑 조건 추론

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 13061 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 양수 \(x\)에 대한 로그부등식 \(\log_2(x - a) + \log_2(x - b) \le c\)를 풀 때는 먼저 진수 조건 \(x \gt a,\; x \gt b\)를 확정한 뒤, 밑 \(2 \gt 1\)의 증가 성질을 이용하여 \((x - a)(x - b) \le 2^c\)의 해집합과 교집합을 구한다.

실수 \(x\)에 대한 부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) \le 3\)과參數 \(k\)를 포함한 연립 로그부등식의 정수해를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 진수 조건을 구하고, 부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) \le 3\)의 해집합과 이를 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 합을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 양수 \(x\)에 대한 부등식 \((\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 4 \le 0\)과 위 부등식을 동시에 만족시키는 실수 \(x\)의 범위를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 자연수 \(m\)에 대하여 부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) \le \log_2 m\)을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수가 정확히 \(3\)개가 되도록 하는 자연수 \(m\)의 값의 범위를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(3 \lt x \le 5\), 정수 합 \(9\) | [1-2] \(3 \lt x \le 5\) | [1-3] \(15 \le m \lt 24\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 진수 조건 \(x - 1 \gt 0,\; x - 3 \gt 0\)에서 \(x \gt 3\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \((x - 1)(x - 3) \le 8 \iff x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5) \le 0 \implies -1 \le x \le 5\)이므로 \(x \gt 3\)과 연립하면 \(3 \lt x \le 5\)이고 정수 \(x = 4, 5\)의 합은 \(9\)이다. 두 번째 부등식은 \((\log_2 x - 1)(\log_2 x - 4) \le 0 \implies 2 \le x \le 16\)이므로 공통 범위는 \(3 \lt x \le 5\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x \gt 3\)에서 \(g(x) = (x - 1)(x - 3)\)은 엄격히 증가하므로 정수해가 \(x = 4, 5, 6\)의 \(3\)개가 되려면 \(g(6) \le m \lt g(7)\)이어야 한다. \(g(6) = 5 \times 3 = 15,\; g(7) = 6 \times 4 = 24\)이므로 \(15 \le m \lt 24\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• 진수 조건 \(x \gt 3\) 명시 +2점 / 해집합 \(3 \lt x \le 5\) 및 합 \(9\) 도출 +4점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 치환 해집합 \(2 \le x \le 16\) 산출 +4점 / 교집합 \(3 \lt x \le 5\) 확정 +3점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 정수해 \(x = 4, 5, 6\) 확정 +3점 / \(15 \le m \lt 24\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \(g(x) = (x-1)(x-3)\)이 \(x \gt 3\)에서 증가하므로 경계값 \(g(6) \le m\)에는 등호가 들어가고 \(m \lt g(7)\)에는 등호가 빠진다는 점을 정확히 구분해야 합니다.

[대문항 2] (20점) 삼각형의 코사인법칙과 중선·내접원 반지름의 기하적 추론

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 13062 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형 \(ABC\)에서 세 변의 길이가 \(a, b, c\)일 때 코사인법칙 \(\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\)가 성립하며, 삼각형의 넓이 \(S\)와 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{1}{2}r(a + b + c)\)가 성립한다.

세 변의 길이가 \(\overline{AB} = 5,\; \overline{BC} = 7,\; \overline{CA} = 8\)인 삼각형 \(ABC\)에 대하여 내각의 크기, 외접원·내접원 반지름 및 중선의 길이를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 \(\cos B\)의 값과 각 \(B\)의 크기를 구하고, 삼각형 \(ABC\)의 넓이 \(S\)를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 \(ABC\)의 외접원의 반지름 \(R\)과 내접원의 반지름 \(r\)을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 변 \(BC\)의 중점을 \(M\)이라 할 때 선분 \(AM\)의 길이를 구하고, 변 \(AC\) 위를 움직이는 점 \(P\)에 대하여 \(\overline{BP}^2 + \overline{MP}^2\)의 최솟값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(\cos B = \dfrac{1}{2},\; B = \dfrac{\pi}{3},\; S = 10\sqrt{3}\) | [2-2] \(R = \dfrac{8\sqrt{3}}{3},\; r = \sqrt{3}\) | [2-3] \(\overline{AM} = \dfrac{\sqrt{129}}{2}\), 최솟값 \(\dfrac{393}{32}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 세 변 \(c = 5, a = 7, b = 8\)을 코사인법칙에 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\cos B = \dfrac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \dfrac{10}{70} = \dfrac{1}{7}\)이 아닌 \(\cos A = \dfrac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 5} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}\)이다! 따라서 각 \(A\)에 대하여 \(\cos A = \dfrac{1}{2},\; A = \dfrac{\pi}{3}\)이고 \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \sin\dfrac{\pi}{3} = 10\sqrt{3}\)이다. 외접원 반지름은 \(2R = \dfrac{7}{\sin(\pi/3)} = \dfrac{14}{\sqrt{3}} \implies R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)이고, 둘레가 \(20\)이므로 \(10r = 10\sqrt{3} \implies r = \sqrt{3}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 삼각형 \(ABM\)에서 \(\overline{BM} = \dfrac{7}{2}\)이고 \(\cos B = \dfrac{1}{7}\)이므로 \(\overline{AM}^2 = 25 + \dfrac{49}{4} - 2 \cdot 5 \cdot \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{1}{7} = \dfrac{129}{4} \implies \overline{AM} = \dfrac{\sqrt{129}}{2}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• 코사인법칙으로 \(\cos A = \dfrac{1}{2},\; A = \dfrac{\pi}{3}\) 도출 +3점 / 넓이 \(10\sqrt{3}\) 산출 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 사인법칙 \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\) 계산 +3점 / 내접원 반지름 \(r = \sqrt{3}\) 도출 +4점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 중선 정리 또는 코사인법칙으로 \(\overline{AM} = \dfrac{\sqrt{129}}{2}\) 산출 +4점 / 최솟값 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 세 변이 \(5, 7, 8\)인 삼각형에서는 길이가 \(7\)인 대변의 마주 보는 각이 \(\dfrac{\pi}{3}\) (\(60^\circ\))라는 성질을 기억하면 검산이 매우 빠릅니다.

[대문항 3] (20점) 다항함수의 차수 결정 극한과 곡선 위의 접선의 수직 조건

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 13063 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-02-04]

<제시문 (가)> 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - k}{x - 2} = m\)이면 \(f(2) = k,\; f'(2) = m\)이며, 점 \((2, f(2))\)에서 접선에 수직이고 같은 점을 지나는 법선의 기울기는 \(-\dfrac{1}{f'(2)}\) (\(f'(2) \ne 0\))이다.

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 \(f(0) = 0\)이고 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = -2\)를 만족시킬 때, 함수 \(f(x)\)와 접선·법선을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(f(1)\)과 \(f'(1)\)의 값을 구하고, 삼차함수 \(f(x)\)의 식을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(A(2, f(2))\)에서의 접선 \(l_1\)과 점 \(A\)를 지나고 \(l_1\)에 수직인 직선 \(l_2\)의 방정식을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 두 직선 \(l_1, l_2\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(f(1) = 0,\; f'(1) = -2,\; f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x\) | [3-2] \(l_1 : y = -x,\; l_2 : y = x - 4\) | [3-3] \(4\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(0) = 0,\; f(1) = 0\)이므로 \(f(x) = x(x - 1)(x - k)\)로 놓는다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f'(1) = 1 \cdot (1 - k) = -2 \implies k = 3\)이므로 \(f(x) = x(x - 1)(x - 3) = x^3 - 4x^2 + 3x\)이다. \(f(2) = -2\)이고 \(f'(x) = 3x^2 - 8x + 3\)에서 \(f'(2) = -1\)이므로 접선 \(l_1\)은 \(y + 2 = -(x - 2) \implies y = -x\)이고, 수직인 직선 \(l_2\)는 기울기가 \(1\)이므로 \(y + 2 = x - 2 \implies y = x - 4\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(l_1\)의 \(x\)절편은 \(0\), \(l_2\)의 \(x\)절편은 \(4\), 교점 \(A(2, -2)\)의 \(y\)좌표 절댓값은 \(2\)이므로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• \(f(x) = x(x-1)(x-k)\) 설정 +3점 / \(k = 3\) 및 \(f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x\) 확정 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(f(2) = -2,\; f'(2) = -1\) 계산 +3점 / \(l_1 : y = -x,\; l_2 : y = x - 4\) 도출 +4점
소문항 [3-3] (배점 7)	• \(x\)절편 \(0, 4\) 도출 +3점 / 삼각형 넓이 \(4\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 인수정리를 활용하여 \(f(x) = x(x-1)(x-k)\)로 두면 \(f'(1) = 1 - k\)를 미분 전개 없이 즉시 구할 수 있습니다.

[대문항 4] (20점) 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소와 닫힌구간 최대·최소

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 탐구 13064 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속함수 \(f(t)\)에 대하여 \(g(x) = \int_a^x f(t)\,dt\)로 정의된 함수는 \(g'(x) = f(x)\)를 만족시키며, \(f(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌는 점에서 극댓값을 갖고 음에서 양으로 바뀌는 점에서 극솟값을 갖는다.

이차함수 \(f(x) = 3x^2 - 6x\)에 대하여 함수 \(g(x) = \int_0^x f(t)\,dt + 4\)로 정의할 때, 함수 \(g(x)\)의 그래프와 실근을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 함수 \(g(x)\)의 도함수 \(g'(x)\)를 구하고, 함수 \(g(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 함수 \(g(x)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 \(y = g(x)\)와 직선 \(y = 4\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(g'(x) = 3x(x-2)\), 극댓값 \(4\), 극솟값 \(0\) | [4-2] \(M = 4,\; m = 0\) | [4-3] \(\dfrac{27}{4}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(g'(x) = f(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\)이고 \(g(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(x = 0\)에서 극댓값 \(g(0) = 4\), \(x = 2\)에서 극솟값 \(g(2) = 8 - 12 + 4 = 0\)을 갖는다. 구간 양 끝점 함숫값은 \(g(-1) = -1 - 3 + 4 = 0,\; g(3) = 27 - 27 + 4 = 4\)이므로 닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 최댓값은 \(M = 4\), 최솟값은 \(m = 0\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(g(x) - 4 = x^2(x - 3) = 0\)에서 교점은 \(x = 0\) (접점)과 \(x = 3\)이므로 둘러싸인 넓이는 \(\int_0^3 (4 - g(x))\,dx = \int_0^3 (3x^2 - x^3)\,dx = \left[x^3 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^3 = \dfrac{27}{4}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(g(x) = x^3 - 3x^2 + 4\) 도출 +3점 / 극댓값 \(4,\;\) 극솟값 \(0\) 산출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• 경계값 \(g(-1)=0,\; g(3)=4\) 비교 +4점 / \(M = 4,\; m = 0\) 확정 +3점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 적분 구간 \([0, 3]\) 설정 +3점 / 넓이 \(\dfrac{27}{4}\) 계산 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수 비율 관계 \(1 : 2\)에 의해 \(g(0) = g(3) = 4\)이고 \(g(2) = g(-1) = 0\)임을 확인하면 최대·최소 검산이 완벽해집니다.

[대문항 5] (20점) 중복조합을 이용한 부정방정식의 정수해 개수와 확률

확률과 통계 Ⅰ-1. 경우의 수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.4 탐구 13065 변형 | 성취기준: 12확통01-01, 12확통01-02]

<제시문 (가)> 서로 다른 \(n\)개에서 중복을 허락하여 \(r\)개를 택하는 중복조합의 수는 \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)이며, 방정식 \(x_1 + x_2 + \dots + x_n = r\)의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.

네 개의 음이 아닌 정수 \(x, y, z, w\)가 방정식 \(x + y + z + w = 10\)을 만족시킬 때, 순서쌍 \((x, y, z, w)\)의 개수와 확률을 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 방정식 \(x + y + z + w = 10\)을 만족시키는 음이 아닌 정수해 \((x, y, z, w)\)의 전체 개수 \(N\)을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 위 해 중에서 \(x, y, z, w\)가 모두 양의 홀수인 순서쌍 \((x, y, z, w)\)의 개수 \(A\)와 모두 양의 짝수인 순서쌍의 개수 \(B\)를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 전체 음이 아닌 정수해 \(N\)개 중에서 임의로 택한 하나의 순서쌍 \((x, y, z, w)\)가 \(x \ge 2,\; y \ge 1\)을 만족시킬 확률을 기약분수로 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(N = 286\) | [5-2] \(A = 20,\; B = 4\) | [5-3] \(\dfrac{15}{26}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(N = {}_{4}\mathrm{H}_{10} = {}_{13}\mathrm{C}_{10} = {}_{13}\mathrm{C}_{3}\)을 계산한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(N = \dfrac{13 \times 12 \times 11}{6} = 286\)이다. 모두 양의 홀수이면 \(x = 2a+1, y = 2b+1, z = 2c+1, w = 2d+1\) (\(a,b,c,d \ge 0\))로 치환하여 \(a + b + c + d = 3\)에서 \(A = {}_{4}\mathrm{H}_{3} = {}_{6}\mathrm{C}_{3} = 20\)이다. 모두 양의 짝수이면 \(x = 2a+2, \dots\)로 치환하여 \(a + b + c + d = 1\)에서 \(B = {}_{4}\mathrm{H}_{1} = 4\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x = x' + 2,\; y = y' + 1\) (\(x', y' \ge 0\))로 치환하면 \(x' + y' + z + w = 7\)이므로 조건을 만족시키는 순서쌍의 개수는 \({}_{4}\mathrm{H}_{7} = {}_{10}\mathrm{C}_{3} = 120\)이고, 확률은 \(\dfrac{120}{286} = \dfrac{60}{143}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• 중복조합 \({}_{4}\mathrm{H}_{10}\) 적용 +3점 / \(N = 286\) 산출 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 홀수 치환 \(A = {}_{4}\mathrm{H}_{3} = 20\) 도출 +4점 / 짝수 치환 \(B = {}_{4}\mathrm{H}_{1} = 4\) 산출 +3점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 하한 치환 \({}_{4}\mathrm{H}_{7} = 120\) 계산 +4점 / 기약분수 \(\dfrac{60}{143}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(120 / 286\)을 \(2\)로 약분한 \(\dfrac{60}{143}\)에서 \(143 = 11 \times 13\)이므로 더 이상 약분되지 않는 기약분수임을 확인합니다.