2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 6회 문제집

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 6회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 로그부등식의 해집합과 정수해의 개수 및 밑 조건 추론

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 13061 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 양수 \(x\)에 대한 로그부등식 \(\log_2(x - a) + \log_2(x - b) \le c\)를 풀 때는 먼저 진수 조건 \(x \gt a,\; x \gt b\)를 확정한 뒤, 밑 \(2 \gt 1\)의 증가 성질을 이용하여 \((x - a)(x - b) \le 2^c\)의 해집합과 교집합을 구한다.

실수 \(x\)에 대한 부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) \le 3\)과參數 \(k\)를 포함한 연립 로그부등식의 정수해를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 진수 조건을 구하고, 부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) \le 3\)의 해집합과 이를 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 합을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 양수 \(x\)에 대한 부등식 \((\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 4 \le 0\)과 위 부등식을 동시에 만족시키는 실수 \(x\)의 범위를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 자연수 \(m\)에 대하여 부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) \le \log_2 m\)을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수가 정확히 \(3\)개가 되도록 하는 자연수 \(m\)의 값의 범위를 구하시오.

[인하대학교 제6회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 삼각형의 코사인법칙과 중선·내접원 반지름의 기하적 추론

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 13062 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형 \(ABC\)에서 세 변의 길이가 \(a, b, c\)일 때 코사인법칙 \(\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\)가 성립하며, 삼각형의 넓이 \(S\)와 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{1}{2}r(a + b + c)\)가 성립한다.

세 변의 길이가 \(\overline{AB} = 5,\; \overline{BC} = 7,\; \overline{CA} = 8\)인 삼각형 \(ABC\)에 대하여 내각의 크기, 외접원·내접원 반지름 및 중선의 길이를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 \(\cos B\)의 값과 각 \(B\)의 크기를 구하고, 삼각형 \(ABC\)의 넓이 \(S\)를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 \(ABC\)의 외접원의 반지름 \(R\)과 내접원의 반지름 \(r\)을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 변 \(BC\)의 중점을 \(M\)이라 할 때 선분 \(AM\)의 길이를 구하고, 변 \(AC\) 위를 움직이는 점 \(P\)에 대하여 \(\overline{BP}^2 + \overline{MP}^2\)의 최솟값을 구하시오.

[인하대학교 제6회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 다항함수의 차수 결정 극한과 곡선 위의 접선의 수직 조건

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 13063 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-02-04]

<제시문 (가)> 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - k}{x - 2} = m\)이면 \(f(2) = k,\; f'(2) = m\)이며, 점 \((2, f(2))\)에서 접선에 수직이고 같은 점을 지나는 법선의 기울기는 \(-\dfrac{1}{f'(2)}\) (\(f'(2) \ne 0\))이다.

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 \(f(0) = 0\)이고 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = -2\)를 만족시킬 때, 함수 \(f(x)\)와 접선·법선을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(f(1)\)과 \(f'(1)\)의 값을 구하고, 삼차함수 \(f(x)\)의 식을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(A(2, f(2))\)에서의 접선 \(l_1\)과 점 \(A\)를 지나고 \(l_1\)에 수직인 직선 \(l_2\)의 방정식을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 두 직선 \(l_1, l_2\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

[인하대학교 제6회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소와 닫힌구간 최대·최소

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 탐구 13064 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속함수 \(f(t)\)에 대하여 \(g(x) = \int_a^x f(t)\,dt\)로 정의된 함수는 \(g'(x) = f(x)\)를 만족시키며, \(f(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌는 점에서 극댓값을 갖고 음에서 양으로 바뀌는 점에서 극솟값을 갖는다.

이차함수 \(f(x) = 3x^2 - 6x\)에 대하여 함수 \(g(x) = \int_0^x f(t)\,dt + 4\)로 정의할 때, 함수 \(g(x)\)의 그래프와 실근을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 함수 \(g(x)\)의 도함수 \(g'(x)\)를 구하고, 함수 \(g(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 함수 \(g(x)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 \(y = g(x)\)와 직선 \(y = 4\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

[인하대학교 제6회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 중복조합을 이용한 부정방정식의 정수해 개수와 확률

확률과 통계 Ⅰ-1. 경우의 수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.4 탐구 13065 변형 | 성취기준: 12확통01-01, 12확통01-02]

<제시문 (가)> 서로 다른 \(n\)개에서 중복을 허락하여 \(r\)개를 택하는 중복조합의 수는 \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)이며, 방정식 \(x_1 + x_2 + \dots + x_n = r\)의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.

네 개의 음이 아닌 정수 \(x, y, z, w\)가 방정식 \(x + y + z + w = 10\)을 만족시킬 때, 순서쌍 \((x, y, z, w)\)의 개수와 확률을 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 방정식 \(x + y + z + w = 10\)을 만족시키는 음이 아닌 정수해 \((x, y, z, w)\)의 전체 개수 \(N\)을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 위 해 중에서 \(x, y, z, w\)가 모두 양의 홀수인 순서쌍 \((x, y, z, w)\)의 개수 \(A\)와 모두 양의 짝수인 순서쌍의 개수 \(B\)를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 전체 음이 아닌 정수해 \(N\)개 중에서 임의로 택한 하나의 순서쌍 \((x, y, z, w)\)가 \(x \ge 2,\; y \ge 1\)을 만족시킬 확률을 기약분수로 구하시오.

[인하대학교 제6회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 인하대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.