2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 5회 해설집

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 등비수열의 상용로그 변환(등차수열)과 부분합 최대화

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 13051 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항이 \(a_1\), 공비가 \(r\)이면, 수열 \(\{\log_a a_n\}\)은 첫째항이 \(\log_a a_1\)이고 공차가 \(\log_a r\)인 등차수열을 이룬다.

첫째항이 \(a_1 = 1024\)이고 공비가 \(r = \dfrac{1}{2}\)인 등비수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(b_n = \log_2 a_n\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 수열 \(\{b_n\}\)의 일반항 \(b_n\)을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 첫째항부터 제\(n\)항까지의 곱 \(P_n = a_1 a_2 \cdots a_n\)이 최대가 되도록 하는 모든 자연수 \(n\)의 값과 그때의 \(\log_2 P_n\)의 최댓값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(\sum_{k=1}^{20} |b_k|\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(b_n = 11 - n\) | [1-2] \(n = 10, 11\), 최댓값 \(55\) | [1-3] \(100\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(a_n = 2^{10} \cdot 2^{-(n-1)} = 2^{11-n}\)에 밑이 \(2\)인 로그를 취한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(b_n = \log_2 a_n = 11 - n\)이다. \(\log_2 P_n = \sum_{k=1}^{n} b_k = \sum_{k=1}^{n} (11 - k)\)는 \(b_{10} = 1 \gt 0,\; b_{11} = 0\)이므로 \(n = 10\) 또는 \(n = 11\)일 때 최댓값 \(10 + 9 + \cdots + 1 = 55\)를 갖는다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\sum_{k=1}^{20} |11 - k| = (10 + 9 + \cdots + 1) + 0 + (1 + 2 + \cdots + 9) = 55 + 45 = 100\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• \(b_1 = 10\), 공차 \(-1\) 확인 +3점 / \(b_n = 11 - n\) 도출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• \(b_{11} = 0\) 경계 판정으로 \(n = 10, 11\) 도출 +4점 / 최댓값 \(55\) 산출 +3점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 양수 구간(\(55\))과 음수 구간(\(45\)) 분리 +4점 / 합 \(100\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(a_{11} = 1\;(b_{11} = 0)\)이므로 \(P_{10}\)에 \(a_{11} = 1\)을 곱한 \(P_{11}\)도 똑같이 최댓값을 가져 \(n = 10, 11\) 두 개가 모두 답이 됩니다.

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 2] (20점) 해안 전망대 거리 측량(사인법칙과 코사인법칙 연쇄 적용)

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 탐구 13052 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 두 관측점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) 사이의 거리와 각을 측정하면 사인법칙 \(\dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin B} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin C}\)로 접근할 수 없는 지점까지의 거리를 구하고, 코사인법칙으로 두 목표 지점 사이의 거리를 계산할 수 있다.

강 건너편의 두 지점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\) 사이의 거리를 구하기 위하여 강 이쪽의 한 지점 \(\mathrm{A}\)에서 측량하였더니 \(\angle \mathrm{PAQ} = \dfrac{\pi}{3}\)이었다. 또한 삼각형 \(\mathrm{APQ}\)의 외접원의 반지름의 길이가 \(R = 2\sqrt{3}\)이고 \(\overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{AQ}} = 8\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 사인법칙을 이용하여 두 지점 사이의 거리 \(\overline{\mathrm{PQ}}\)를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{APQ}\)에 코사인법칙을 적용하여 \(\overline{\mathrm{AP}} \cdot \overline{\mathrm{AQ}}\)의 값과 삼각형 \(\mathrm{APQ}\)의 넓이를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) \(\overline{\mathrm{AP}} \gt \overline{\mathrm{AQ}}\)일 때, \(\overline{\mathrm{AP}} - \overline{\mathrm{AQ}}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(\overline{\mathrm{PQ}} = 6\) | [2-2] 곱 \(\dfrac{28}{3}\), 넓이 \(\dfrac{7\sqrt{3}}{3}\) | [2-3] \(\dfrac{4\sqrt{15}}{3}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 사인법칙에 의해 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2R\sin\left(\angle \mathrm{PAQ}\right) = 4\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi}{3}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\overline{\mathrm{PQ}} = 6\)이다. \(x = \overline{\mathrm{AP}},\; y = \overline{\mathrm{AQ}}\)라 하면 \(x + y = 8\)이고 코사인법칙에서 \(36 = x^2 + y^2 - xy = (x + y)^2 - 3xy = 64 - 3xy\)이므로 \(xy = \dfrac{28}{3}\)이다. 넓이는 \(\dfrac{1}{2}xy\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \((x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = 64 - \dfrac{112}{3} = \dfrac{80}{3}\)이고 \(x \gt y\)이므로 \(x - y = \dfrac{4\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{15}}{3}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• 사인법칙 \(2R\sin(\pi/3)\) 적용 +3점 / \(\overline{\mathrm{PQ}} = 6\) 도출 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• \(64 - 3xy = 36 \implies xy = \dfrac{28}{3}\) 산출 +4점 / 넓이 \(\dfrac{7\sqrt{3}}{3}\) 도출 +3점
소문항 [2-3] (배점 7)	• \((x-y)^2 = \dfrac{80}{3}\) 유도 +4점 / \(\dfrac{4\sqrt{15}}{3}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos 60^\circ\)를 대칭식 \((b + c)^2 - 3bc\)로 변형하면 \(b + c\)가 주어졌을 때 곱 \(bc\)가 일차방정식으로 바로 풀립니다.

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 3] (20점) 유리·다항 분할 함수의 실수 전체 연속성과 극값

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 13053 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 모든 실수 \(x\)에서 \(x^2 - 2x + k \ne 0\)이면 분수함수 \(\dfrac{P(x)}{x^2 - 2x + k}\)는 실수 전체의 집합에서 연속이며, 이를 위한 필요충분조건은 분모의 판별식 \(\dfrac{D}{4} = 1 - k \lt 0\)인 것이다.

이차함수 \(g(x) = x^2 - 2ax + 3a\)에 대하여 유리함수 \(h(x) = \dfrac{x + 1}{g(x)}\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a\)는 실수이다.)

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 \(h(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 3-2] (7점) [문항 3-1]의 범위에 속하는 모든 정수 \(a\)의 값들의 합을 구하고, \(a = 2\)일 때 이차함수 \(g(x)\)의 최솟값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(a = 2\)일 때, \(\lim_{x \to 1} \dfrac{g(x) - 3}{x^2 - 1}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(0 \lt a \lt 3\) | [3-2] 정수 합 \(3\), 최솟값 \(2\) | [3-3] \(-1\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 분자 \(x + 1\)이 \(0\)이 되는 \(x = -1\)에서도 약분 여부와 관계없이 정의역이 실수 전체이려면 모든 실수 \(x\)에서 \(g(x) \ne 0\)이어야 한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(g(x) = x^2 - 2ax + 3a = 0\)의 판별식 \(\dfrac{D}{4} = a^2 - 3a = a(a - 3) \lt 0\)에서 \(0 \lt a \lt 3\)이다. 정수 \(a\)는 \(1, 2\)로 합은 \(3\)이고, \(a = 2\)일 때 \(g(x) = x^2 - 4x + 6 = (x - 2)^2 + 2\)이므로 최솟값은 \(2\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(a = 2\)일 때 \(g(x) - 2 = x^2 - 4x + 4\)가 아닌 \(x \to 1\)에서 수렴하도록 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{g(x) - 3}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{-2}{2} = -1\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• 분모 \(g(x) \ne 0\) 판별식 \(a(a-3) \lt 0\) 설정 +3점 / \(0 \lt a \lt 3\) 도출 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• 정수 \(1 + 2 = 3\) 산출 +3점 / \(a=2\)일 때 최솟값 \(2\) 도출 +4점
소문항 [3-3] (배점 7)	• \(g(x) - 3 = (x-1)(x-3)\) 인수분해 +4점 / 극한값 \(-1\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분수함수가 실수 전체에서 연속이려면 분모가 \(0\)이 되는 실근이 존재하지 않아야 하므로 분모 이차식의 판별식이 음수(\(D \lt 0\))여야 합니다.

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 4] (20점) 삼차함수의 역함수 존재 조건과 부등식의 결합

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 13054 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)의 역함수가 존재하기 위한 필요충분조건은 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \ge 0\)인 것이며, 특정 닫힌구간 \([p, q]\)에서 증가하기 위한 조건은 구간 \([p, q]\)의 모든 \(x\)에서 \(f'(x) \ge 0\)인 것이다.

삼차함수 \(f(x) = -x^3 + ax^2 - 3x + 2\)가 닫힌구간 \([1, 3]\)에서 감소하도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 구간 \([1, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)가 감소하기 위한 조건을 \(f'(x) \le 0\)으로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) 위로 볼록한 이차함수 \(f'(x)\)가 구간 \([1, 3]\)에서 \(f'(x) \le 0\)을 만족시키기 위한 \(a\)의 조건을 변수의 분리 \(2ax \le 3x^2 + 3\) (또는 산술·기하 평균)으로 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 함수 \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 역함수가 존재하도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(f'(x) = -3x^2 + 2ax - 3 \le 0\) | [4-2] \(a \le 3\) | [4-3] \(-3 \le a \le 3\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f'(x) = -3x^2 + 2ax - 3\)이고, 구간 \([1, 3]\)에서 감소하려면 모든 \(x \in [1, 3]\)에서 \(f'(x) \le 0\)이어야 한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(1 \le x \le 3\)에서 \(2ax \le 3x^2 + 3 \iff 2a \le 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right)\)이다. 구간 \([1, 3]\)에서 \(x + \dfrac{1}{x}\)의 최솟값은 \(x = 1\)일 때 \(2\)이므로 \(2a \le 6 \implies a \le 3\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 실수 전체에서 역함수가 존재하려면 모든 실수 \(x\)에서 \(f'(x) \le 0\)이어야 하므로 판별식 \(\dfrac{D}{4} = a^2 - 9 \le 0 \implies -3 \le a \le 3\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(f'(x) = -3x^2 + 2ax - 3 \le 0\) 조건 수립 +6점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(2a \le 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right)\) 변수 분리 +4점 / \(x=1\) 최솟값 대입으로 \(a \le 3\) 도출 +3점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 판별식 \(a^2 - 9 \le 0\) 적용 +4점 / \(-3 \le a \le 3\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 이차함수의 대칭축 \(\dfrac{a}{3}\)에 미지수 \(a\)가 있을 때 구간 \([1, 3]\)에서 \(f'(x) \le 0\)을 풀려면 축의 위치를 케이스 분류하는 것보다 \(2a \le 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right)\)로 변수를 분리하는 것이 훨씬 간결합니다.

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 5] (20점) 정적분으로 정의된 함수의 극솟값과 둘러싸인 넓이

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 13055 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 연속함수 \(f(t)\)에 대하여 \(g(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt\)라 하면 \(g'(x) = f(x)\)이므로, \(g(x)\)의 극대·극소점은 \(f(x)\)의 부호가 바뀌는 영점이며 두 극값의 차는 두 영점 사이에서 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.

이차함수 \(f(x) = 3x^2 - 12x + 9\)에 대하여 함수 \(g(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt\)가 정의될 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 \(g(x)\)가 극댓값을 갖는 \(x = \alpha\)와 극솟값을 갖는 \(x = \beta\)를 구하고, 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하고, 이 값이 \(g(\alpha) - g(\beta)\)와 일치함을 확인하시오.

[문항 5-3] (7점) 곡선 \(y = g(x)\)와 직선 \(y = 4\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(\alpha = 1,\; \beta = 3\), 극댓값 \(g(1) = 4\), 극솟값 \(g(3) = 0\) | [5-2] \(S = 4 = g(1) - g(3)\) | [5-3] \(\dfrac{27}{4}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(g'(x) = f(x) = 3(x - 1)(x - 3) = 0\)에서 \(\alpha = 1,\; \beta = 3\)이고 \(g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 극댓값은 \(g(1) = 4\), 극솟값은 \(g(3) = 0\)이다. 또한 \(S = \int_{1}^{3} -(3x^2 - 12x + 9)\,dx = \dfrac{3}{6}(3 - 1)^3 = 4 = g(1) - g(3)\)로 일치한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 직선 \(y = 4\)는 곡선 \(y = g(x)\)의 극대점 \((1, 4)\)에서의 접선이며, \(g(x) - 4 = x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = (x - 1)^2(x - 4) = 0\)에서 다시 만나는 점은 \(x = 4\)이므로 둘러싸인 넓이는 \(\int_{1}^{4} (4 - g(x))\,dx = \dfrac{1}{12}(4 - 1)^4 = \dfrac{27}{4}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(\alpha=1, \beta=3\) 도출 +2점 / \(g(1)=4, g(3)=0\) 산출 +4점
소문항 [5-2] (배점 7)	• \(S = \int_1^3 \|f(x)\|\,dx = 4\) 계산 +4점 / \(g(1)-g(3) = 4\) 일치 확인 +3점
소문항 [5-3] (배점 7)	• \(g(x) - 4 = (x-1)^2(x-4) = 0\) 인수분해 +4점 / 넓이 \(\dfrac{27}{4}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 도함수 \(f(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 넓이는 곧 원함수 \(g(x)\)의 극댓값과 극솟값의 차와 같다는 미적분의 기본정리 기하적 의미를 완벽히 보여주는 문항입니다.