2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 5회 문제집

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 등비수열의 상용로그 변환(등차수열)과 부분합 최대화

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 13051 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항이 \(a_1\), 공비가 \(r\)이면, 수열 \(\{\log_a a_n\}\)은 첫째항이 \(\log_a a_1\)이고 공차가 \(\log_a r\)인 등차수열을 이룬다.

첫째항이 \(a_1 = 1024\)이고 공비가 \(r = \dfrac{1}{2}\)인 등비수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(b_n = \log_2 a_n\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 수열 \(\{b_n\}\)의 일반항 \(b_n\)을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 첫째항부터 제\(n\)항까지의 곱 \(P_n = a_1 a_2 \cdots a_n\)이 최대가 되도록 하는 모든 자연수 \(n\)의 값과 그때의 \(\log_2 P_n\)의 최댓값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(\sum_{k=1}^{20} |b_k|\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 2] (20점) 해안 전망대 거리 측량(사인법칙과 코사인법칙 연쇄 적용)

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 탐구 13052 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 두 관측점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) 사이의 거리와 각을 측정하면 사인법칙 \(\dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin B} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin C}\)로 접근할 수 없는 지점까지의 거리를 구하고, 코사인법칙으로 두 목표 지점 사이의 거리를 계산할 수 있다.

강 건너편의 두 지점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\) 사이의 거리를 구하기 위하여 강 이쪽의 한 지점 \(\mathrm{A}\)에서 측량하였더니 \(\angle \mathrm{PAQ} = \dfrac{\pi}{3}\)이었다. 또한 삼각형 \(\mathrm{APQ}\)의 외접원의 반지름의 길이가 \(R = 2\sqrt{3}\)이고 \(\overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{AQ}} = 8\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 사인법칙을 이용하여 두 지점 사이의 거리 \(\overline{\mathrm{PQ}}\)를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{APQ}\)에 코사인법칙을 적용하여 \(\overline{\mathrm{AP}} \cdot \overline{\mathrm{AQ}}\)의 값과 삼각형 \(\mathrm{APQ}\)의 넓이를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) \(\overline{\mathrm{AP}} \gt \overline{\mathrm{AQ}}\)일 때, \(\overline{\mathrm{AP}} - \overline{\mathrm{AQ}}\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 3] (20점) 유리·다항 분할 함수의 실수 전체 연속성과 극값

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 13053 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 모든 실수 \(x\)에서 \(x^2 - 2x + k \ne 0\)이면 분수함수 \(\dfrac{P(x)}{x^2 - 2x + k}\)는 실수 전체의 집합에서 연속이며, 이를 위한 필요충분조건은 분모의 판별식 \(\dfrac{D}{4} = 1 - k \lt 0\)인 것이다.

이차함수 \(g(x) = x^2 - 2ax + 3a\)에 대하여 유리함수 \(h(x) = \dfrac{x + 1}{g(x)}\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a\)는 실수이다.)

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 \(h(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 3-2] (7점) [문항 3-1]의 범위에 속하는 모든 정수 \(a\)의 값들의 합을 구하고, \(a = 2\)일 때 이차함수 \(g(x)\)의 최솟값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(a = 2\)일 때, \(\lim_{x \to 1} \dfrac{g(x) - 3}{x^2 - 1}\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 4] (20점) 삼차함수의 역함수 존재 조건과 부등식의 결합

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 13054 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)의 역함수가 존재하기 위한 필요충분조건은 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \ge 0\)인 것이며, 특정 닫힌구간 \([p, q]\)에서 증가하기 위한 조건은 구간 \([p, q]\)의 모든 \(x\)에서 \(f'(x) \ge 0\)인 것이다.

삼차함수 \(f(x) = -x^3 + ax^2 - 3x + 2\)가 닫힌구간 \([1, 3]\)에서 감소하도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 구간 \([1, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)가 감소하기 위한 조건을 \(f'(x) \le 0\)으로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) 위로 볼록한 이차함수 \(f'(x)\)가 구간 \([1, 3]\)에서 \(f'(x) \le 0\)을 만족시키기 위한 \(a\)의 조건을 변수의 분리 \(2ax \le 3x^2 + 3\) (또는 산술·기하 평균)으로 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 함수 \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 역함수가 존재하도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 5] (20점) 정적분으로 정의된 함수의 극솟값과 둘러싸인 넓이

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 13055 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 연속함수 \(f(t)\)에 대하여 \(g(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt\)라 하면 \(g'(x) = f(x)\)이므로, \(g(x)\)의 극대·극소점은 \(f(x)\)의 부호가 바뀌는 영점이며 두 극값의 차는 두 영점 사이에서 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.

이차함수 \(f(x) = 3x^2 - 12x + 9\)에 대하여 함수 \(g(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt\)가 정의될 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 \(g(x)\)가 극댓값을 갖는 \(x = \alpha\)와 극솟값을 갖는 \(x = \beta\)를 구하고, 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하고, 이 값이 \(g(\alpha) - g(\beta)\)와 일치함을 확인하시오.

[문항 5-3] (7점) 곡선 \(y = g(x)\)와 직선 \(y = 4\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.