2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 4회 해설집

2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 4회 해설집 | 4회 : 로그 유리수·자연수 조건 · 평행사변형 대각선 교각 · 절댓값 좌·우극한 분기 · 삼차함수 교점 합 불변성 · 포물선과 접선 넓이

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 로그의 밑과 진수의 제한 조건 및 정수 로그값의 합

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 13041 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 자연수 \(n\)에 대하여 \(\log_2 n\)이 유리수 \(\dfrac{p}{q}\) (\(p, q\)는 서로소인 정수, \(q \ge 1\))가 되려면 \(n^q = 2^p\)이어야 하므로 소인수분해의 유일성에 의하여 \(n\)은 \(2\)의 거듭제곱이어야 한다.

\(2\) 이상 \(100\) 이하의 자연수 \(n\)에 대하여 \(\log_n 64\)의 값이 정수가 되도록 하는 \(n\)과 유리수가 되도록 하는 \(n\)을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(\log_n 64 = \dfrac{6}{\log_2 n}\)임을 이용하여 \(\log_n 64\)의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 \(n\)을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(2 \le n \le 100\)에서 \(\log_n 64\)의 값이 유리수가 되도록 하는 모든 자연수 \(n\)의 개수와 그 값들을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]에서 구한 모든 \(n\)에 대하여 \(\log_2 n\)의 값들의 총합을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(n = 2, 4, 8, 64\) | [1-2] \(6\)개 (\(n = 2, 4, 8, 16, 32, 64\)) | [1-3] \(21\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 밑변환 공식에 의해 \(\log_n 64 = \dfrac{\log_2 2^6}{\log_2 n} = \dfrac{6}{\log_2 n}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 이 값이 자연수 \(k\)가 되려면 \(\log_2 n = \dfrac{6}{k}\)이고 \(n = 2^{\frac{6}{k}}\)이 자연수여야 하므로 \(\dfrac{6}{k}\)는 \(6\)의 양의 약수(\(1, 2, 3, 6\))이다. 따라서 \(n = 2^1, 2^2, 2^3, 2^6 = 2, 4, 8, 64\)이다. 유리수가 되려면 제시문 (가)에 의해 \(n = 2^m\) 꼴이어야 하므로 \(100\) 이하에서 \(n = 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6\)의 \(6\)개이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 각 \(n = 2^m\;(m = 1, 2, 3, 4, 5, 6)\)에 대하여 \(\log_2 n = m\)이므로 총합은 \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• \(\dfrac{6}{\log_2 n}\) 변환 +3점 / \(n = 2, 4, 8, 64\) 도출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• \(n = 2^m\) 조건 논증 +4점 / \(6\)개(\(2, 4, 8, 16, 32, 64\)) 산출 +3점
소문항 [1-3] (배점 7)	• \(\sum_{m=1}^6 m\) 계산 +4점 / 값 \(21\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(n = 2^4 = 16\)일 때 \(\log_{16} 64 = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\)로 정수는 아니지만 유리수가 되므로 [문항 1-1]과 [문항 1-2]의 조건 차이를 명확히 구분해야 합니다.

[대문항 2] (20점) 사각형의 대각선이 이루는 각과 코사인법칙·넓이

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 13042 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 볼록사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 두 대각선의 길이가 \(\overline{\mathrm{AC}} = p,\; \overline{\mathrm{BD}} = q\)이고 두 대각선이 이루는 각의 크기가 \(\theta\)일 때, 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}pq\sin\theta\)이다.

평행사변형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{BC}} = 5,\; \angle \mathrm{ABC} = \dfrac{2\pi}{3}\)일 때, 두 대각선 \(\mathrm{AC}, \mathrm{BD}\)가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 하자. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 두 대각선 \(\overline{\mathrm{AC}}\)와 \(\overline{\mathrm{BD}}\)의 길이를 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 평행사변형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이 \(S\)를 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 \(\sin\theta\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 두 대각선의 교점을 \(\mathrm{M}\)이라 할 때, 삼각형 \(\mathrm{ABM}\)에 코사인법칙을 적용하여 \(\cos\theta\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(\overline{\mathrm{AC}} = 7,\; \overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{19}\) | [2-2] \(S = \dfrac{15\sqrt{3}}{2},\; \sin\theta = \dfrac{15\sqrt{57}}{133}\) | [2-3] \(\cos\theta = \dfrac{16\sqrt{19}}{133}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\angle B = \dfrac{2\pi}{3},\; \angle A = \dfrac{\pi}{3}\)을 이용하여 두 삼각형 \(\mathrm{ABC}, \mathrm{ABD}\)에 코사인법칙을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\overline{\mathrm{AC}}^2 = 9 + 25 - 30\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 49 \implies \overline{\mathrm{AC}} = 7\)이고, \(\overline{\mathrm{BD}}^2 = 9 + 25 - 30\left(\dfrac{1}{2}\right) = 19 \implies \overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{19}\)이다. 넓이는 \(S = 3 \times 5 \times \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{15\sqrt{3}}{2}\)이므로 \(\dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot \sqrt{19}\sin\theta = \dfrac{15\sqrt{3}}{2} \implies \sin\theta = \dfrac{15\sqrt{3}}{7\sqrt{19}} = \dfrac{15\sqrt{57}}{133}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\overline{\mathrm{AM}} = \dfrac{7}{2},\; \overline{\mathrm{BM}} = \dfrac{\sqrt{19}}{2}\)이고 \(\overline{\mathrm{AB}} = 3 \lt \overline{\mathrm{BC}} = 5\)이므로 \(\angle \mathrm{AMB} = \theta\) (예각)이다. 코사인법칙에서 \(\cos\theta = \dfrac{\frac{49}{4} + \frac{19}{4} - 9}{2 \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{2}} = \dfrac{8}{\frac{7\sqrt{19}}{2}} = \dfrac{16}{7\sqrt{19}} = \dfrac{16\sqrt{19}}{133}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• \(\overline{\mathrm{AC}} = 7\) 산출 +3점 / \(\overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{19}\) 도출 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 넓이 \(S = \dfrac{15\sqrt{3}}{2}\) 계산 +3점 / \(\sin\theta = \dfrac{15\sqrt{57}}{133}\) 산출 +4점
소문항 [2-3] (배점 7)	• \(\overline{\mathrm{AM}} = \dfrac{7}{2},\; \overline{\mathrm{BM}} = \dfrac{\sqrt{19}}{2}\) 설정 +3점 / \(\cos\theta = \dfrac{16\sqrt{19}}{133}\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \((15\sqrt{3})^2 + 8^2 = 675 + 64 = 739 \ne (7\sqrt{19})^2 = 931\)이 아니라 \(\frac{49}{4}+\frac{19}{4}-9 = 17 - 9 = 8\)이고 분모가 \(2 \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{2} = \frac{7\sqrt{19}}{2}\)이므로 \(\cos\theta = \dfrac{16}{7\sqrt{19}}\)입니다(\(675 + 256 = 931\) 완벽 일치).

[대문항 3] (20점) 다항함수의 극한과 절댓값 좌·우극한 분기

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 탐구 13043 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> \(x \to a+\)일 때 \(|x - a| = x - a\)이고 \(x \to a-\)일 때 \(|x - a| = -(x - a)\)이므로, \(\lim_{x \to a+} \dfrac{x^2 - a^2}{|x - a|} = 2a\)이고 \(\lim_{x \to a-} \dfrac{x^2 - a^2}{|x - a|} = -2a\)이다.

이차함수 \(f(x) = x^2 + ax + b\)가 \(\lim_{x \to 2+} \dfrac{f(x)}{|x - 2|} = 5\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) \(x \to 2+\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴함을 이용하여 \(f(2) = 0\)임을 보이고, 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 좌극한 \(\lim_{x \to 2-} \dfrac{f(x)}{|x - 2|}\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 함수 \(g(x) = \dfrac{f(x)(x - k)}{|x - 2|}\)에 대하여 \(\lim_{x \to 2} g(x)\)의 값이 존재하도록 하는 상수 \(k\)의 값과 그때의 극한값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(a = 1,\; b = -6\) | [3-2] \(-5\) | [3-3] \(k = 2\), 극한값 \(0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(2) = 0\)이므로 \(f(x) = (x - 2)(x - m)\)으로 인수분해된다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(x \to 2+\)일 때 \(\dfrac{(x - 2)(x - m)}{x - 2} = x - m \to 2 - m = 5\)이므로 \(m = -3\)이다. 따라서 \(f(x) = (x - 2)(x + 3) = x^2 + x - 6\;(a = 1, b = -6)\)이고, 좌극한은 \(-(2 + 3) = -5\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\lim_{x \to 2+} g(x) = 5(2 - k)\)이고 \(\lim_{x \to 2-} g(x) = -5(2 - k)\)이므로 두 극한이 같으려면 \(5(2 - k) = -5(2 - k) \implies k = 2\)이며, 그때의 극한값은 \(0\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• \(f(x) = (x-2)(x+3)\) 유도 +3점 / \(a = 1, b = -6\) 산출 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(x \lt 2\)에서 \(\|x-2\| = -(x-2)\) 적용 +4점 / 좌극한 \(-5\) 도출 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• \(5(2-k) = -5(2-k)\) 연립 +4점 / \(k = 2\), 극한값 \(0\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 우극한과 좌극한의 부호가 반대(\(\pm 5\))인 식에 \((x - k)\)를 곱해 극한이 존재하게 하려면 곱해진 인수가 \(x = 2\)에서 \(0\)이 되어야 합니다.

[대문항 4] (20점) 삼차함수와 직선의 교점 중점(변곡점 불변성)과 극값

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 13044 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 삼차함수 \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)의 그래프와 임의의 직선 \(y = mx + n\)이 만나는 세 교점(접할 때는 중근을 두 번 셈)의 \(x\)좌표를 \(x_1, x_2, x_3\)이라 하면, 일차식 \(mx + n\)은 삼차항과 이차항에 영향을 주지 않으므로 \(x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a}\)로 직선의 기울기 \(m\)과 절편 \(n\)에 무관하게 항상 일정하다.

곡선 \(C : y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2\)와 직선 \(l : y = mx + n\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 곡선 \(C\)와 직선 \(l\)이 서로 다른 세 점에서 만날 때, 세 교점의 \(x\)좌표의 합 \(x_1 + x_2 + x_3\)의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 곡선 \(C\) 위의 점 \(\mathrm{A}(0, 2)\)에서의 접선이 곡선 \(C\)와 다시 만나는 점 \(\mathrm{B}\)의 좌표를 [문항 4-1]의 성질을 이용하여 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 \(C\) 위의 점 \((2, f(2))\)에서의 접선 \(l_0\)의 방정식을 구하고, 곡선 \(C\)와 직선 \(l_0\)의 교점의 개수를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(6\) | [4-2] \(\mathrm{B}(6, 56)\) | [4-3] \(y = -3x + 10\), 교점 \(1\)개(\((2, 4)\) 삼중근)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(x^3 - 6x^2 + (9 - m)x + (2 - n) = 0\)에서 근과 계수의 관계를 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 세 근의 합은 \(x_1 + x_2 + x_3 = 6\)으로 일정하다. 점 \(\mathrm{A}(0, 2)\)에서의 접선은 \(x = 0\)을 중근(\(0, 0\))으로 가지므로 다른 교점의 \(x\)좌표는 \(0 + 0 + x_3 = 6 \implies x_3 = 6\)이고, \(f(6) = 216 - 216 + 54 + 2 = 56\)이어서 \(\mathrm{B}(6, 56)\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(f(2) = 4,\; f'(2) = 12 - 24 + 9 = -3\)이므로 접선 \(l_0\)는 \(y = -3(x - 2) + 4 = -3x + 10\)이다. 이때 \(f(x) - (-3x + 10) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = (x - 2)^3 = 0\)이므로 오직 한 점 \((2, 4)\)에서만 만난다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• 이차항 계수 \(-6\) 불변성 논증 +3점 / 합 \(6\) 도출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• 중근 \(0 + 0 + x_3 = 6\) 적용 +4점 / \(\mathrm{B}(6, 56)\) 산출 +3점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 접선 \(y = -3x + 10\) 유도 +4점 / \((x-2)^3 = 0\)으로 교점 \(1\)개 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 점 \(\mathrm{A}(0, 2)\)에서의 접선의 방정식을 직접 구해 연립하지 않아도 \(0 + 0 + x_3 = 6\) 관계식 하나만으로 다시 만나는 점의 \(x\)좌표 \(6\)이 즉시 구해집니다.

[대문항 5] (20점) 포물선과 접선 및 축으로 둘러싸인 넓이의 비(2:1 성질)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 13045 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 포물선 \(y = ax^2\;(a \gt 0)\) 위의 점 \(\mathrm{P}(t, at^2)\;(t \gt 0)\)에서의 접선은 \(x\)축과 점 \(\mathrm{Q}\left(\dfrac{t}{2}, 0\right)\)에서 만나며, 곡선과 \(x\)축 및 선분 \(\mathrm{PH}\;(\mathrm{H}(t, 0))\)로 둘러싸인 넓이는 접선이 이를 \(1 : 2\)로 나눈다.

포물선 \(C : y = x^2\) 위의 점 \(\mathrm{P}(2, 4)\)에서의 접선을 \(l\)이라 하고, 점 \(\mathrm{P}\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{H}(2, 0)\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 접선 \(l\)의 방정식과 접선 \(l\)이 \(x\)축과 만나는 점 \(\mathrm{Q}\)의 좌표를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 포물선 \(C\)와 \(x\)축 및 선분 \(\mathrm{PH}\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)와 직각삼각형 \(\mathrm{PQH}\)의 넓이 \(S_2\)를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 포물선 \(C\)와 접선 \(l\) 및 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(A\)를 정적분으로 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(y = 4x - 4,\; \mathrm{Q}(1, 0)\) | [5-2] \(S = \dfrac{8}{3},\; S_2 = 2\) | [5-3] \(A = \dfrac{8}{3}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(y' = 2x\)이므로 점 \(\mathrm{P}(2, 4)\)에서의 접선은 \(y = 4(x - 2) + 4 = 4x - 4\)이고 \(x\)절편은 \(\mathrm{Q}(1, 0)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(S = \int_{0}^{2} x^2\,dx = \dfrac{8}{3}\)이고, 직각삼각형 \(\mathrm{PQH}\)의 밑변은 \(2 - 1 = 1\), 높이는 \(4\)이므로 \(S_2 = \dfrac{1}{2} \times 1 \times 4 = 2\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 포물선과 접선 및 \(y\)축으로 둘러싸인 넓이는 \(A = \int_{0}^{2} \{x^2 - (4x - 4)\}\,dx = \int_{0}^{2} (x - 2)^2\,dx = \left[\dfrac{1}{3}(x - 2)^3\right]_{0}^{2} = \dfrac{8}{3}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• 접선 \(y = 4x - 4\) 도출 +3점 / \(\mathrm{Q}(1, 0)\) 산출 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• \(S = \dfrac{8}{3}\) 적분 계산 +4점 / \(S_2 = 2\) 산출 +3점
소문항 [5-3] (배점 7)	• \(\int_0^2 (x-2)^2\,dx\) 완전제곱식 적분 +4점 / \(A = \dfrac{8}{3}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수 \(x^2 - (4x - 4) = (x - 2)^2\)이 완전제곱식이 되는 이유는 직선 \(y = 4x - 4\)가 \(x = 2\)에서의 접선이기 때문입니다.