2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 4회 문제집

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 로그의 밑과 진수의 제한 조건 및 정수 로그값의 합

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 13041 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 자연수 \(n\)에 대하여 \(\log_2 n\)이 유리수 \(\dfrac{p}{q}\) (\(p, q\)는 서로소인 정수, \(q \ge 1\))가 되려면 \(n^q = 2^p\)이어야 하므로 소인수분해의 유일성에 의하여 \(n\)은 \(2\)의 거듭제곱이어야 한다.

\(2\) 이상 \(100\) 이하의 자연수 \(n\)에 대하여 \(\log_n 64\)의 값이 정수가 되도록 하는 \(n\)과 유리수가 되도록 하는 \(n\)을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(\log_n 64 = \dfrac{6}{\log_2 n}\)임을 이용하여 \(\log_n 64\)의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 \(n\)을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(2 \le n \le 100\)에서 \(\log_n 64\)의 값이 유리수가 되도록 하는 모든 자연수 \(n\)의 개수와 그 값들을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]에서 구한 모든 \(n\)에 대하여 \(\log_2 n\)의 값들의 총합을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 사각형의 대각선이 이루는 각과 코사인법칙·넓이

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 13042 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 볼록사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 두 대각선의 길이가 \(\overline{\mathrm{AC}} = p,\; \overline{\mathrm{BD}} = q\)이고 두 대각선이 이루는 각의 크기가 \(\theta\)일 때, 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}pq\sin\theta\)이다.

평행사변형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{BC}} = 5,\; \angle \mathrm{ABC} = \dfrac{2\pi}{3}\)일 때, 두 대각선 \(\mathrm{AC}, \mathrm{BD}\)가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 하자. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 두 대각선 \(\overline{\mathrm{AC}}\)와 \(\overline{\mathrm{BD}}\)의 길이를 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 평행사변형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이 \(S\)를 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 \(\sin\theta\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 두 대각선의 교점을 \(\mathrm{M}\)이라 할 때, 삼각형 \(\mathrm{ABM}\)에 코사인법칙을 적용하여 \(\cos\theta\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 다항함수의 극한과 절댓값 좌·우극한 분기

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 탐구 13043 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> \(x \to a+\)일 때 \(|x - a| = x - a\)이고 \(x \to a-\)일 때 \(|x - a| = -(x - a)\)이므로, \(\lim_{x \to a+} \dfrac{x^2 - a^2}{|x - a|} = 2a\)이고 \(\lim_{x \to a-} \dfrac{x^2 - a^2}{|x - a|} = -2a\)이다.

이차함수 \(f(x) = x^2 + ax + b\)가 \(\lim_{x \to 2+} \dfrac{f(x)}{|x - 2|} = 5\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) \(x \to 2+\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴함을 이용하여 \(f(2) = 0\)임을 보이고, 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 좌극한 \(\lim_{x \to 2-} \dfrac{f(x)}{|x - 2|}\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 함수 \(g(x) = \dfrac{f(x)(x - k)}{|x - 2|}\)에 대하여 \(\lim_{x \to 2} g(x)\)의 값이 존재하도록 하는 상수 \(k\)의 값과 그때의 극한값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 삼차함수와 직선의 교점 중점(변곡점 불변성)과 극값

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 13044 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 삼차함수 \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)의 그래프와 임의의 직선 \(y = mx + n\)이 만나는 세 교점(접할 때는 중근을 두 번 셈)의 \(x\)좌표를 \(x_1, x_2, x_3\)이라 하면, 일차식 \(mx + n\)은 삼차항과 이차항에 영향을 주지 않으므로 \(x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a}\)로 직선의 기울기 \(m\)과 절편 \(n\)에 무관하게 항상 일정하다.

곡선 \(C : y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2\)와 직선 \(l : y = mx + n\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 곡선 \(C\)와 직선 \(l\)이 서로 다른 세 점에서 만날 때, 세 교점의 \(x\)좌표의 합 \(x_1 + x_2 + x_3\)의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 곡선 \(C\) 위의 점 \(\mathrm{A}(0, 2)\)에서의 접선이 곡선 \(C\)와 다시 만나는 점 \(\mathrm{B}\)의 좌표를 [문항 4-1]의 성질을 이용하여 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 \(C\) 위의 점 \((2, f(2))\)에서의 접선 \(l_0\)의 방정식을 구하고, 곡선 \(C\)와 직선 \(l_0\)의 교점의 개수를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 포물선과 접선 및 축으로 둘러싸인 넓이의 비(2:1 성질)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 13045 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 포물선 \(y = ax^2\;(a \gt 0)\) 위의 점 \(\mathrm{P}(t, at^2)\;(t \gt 0)\)에서의 접선은 \(x\)축과 점 \(\mathrm{Q}\left(\dfrac{t}{2}, 0\right)\)에서 만나며, 곡선과 \(x\)축 및 선분 \(\mathrm{PH}\;(\mathrm{H}(t, 0))\)로 둘러싸인 넓이는 접선이 이를 \(1 : 2\)로 나눈다.

포물선 \(C : y = x^2\) 위의 점 \(\mathrm{P}(2, 4)\)에서의 접선을 \(l\)이라 하고, 점 \(\mathrm{P}\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{H}(2, 0)\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 접선 \(l\)의 방정식과 접선 \(l\)이 \(x\)축과 만나는 점 \(\mathrm{Q}\)의 좌표를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 포물선 \(C\)와 \(x\)축 및 선분 \(\mathrm{PH}\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)와 직각삼각형 \(\mathrm{PQH}\)의 넓이 \(S_2\)를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 포물선 \(C\)와 접선 \(l\) 및 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(A\)를 정적분으로 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.