2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 3회 해설집

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 거듭제곱근의 유리스러운 소거와 이중 지수 방정식

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 13031 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

<제시문 (가)> \(x = a^{\frac{1}{3}} - a^{-\frac{1}{3}}\;(a \gt 1)\)일 때, 양변을 세제곱하면 \(x^3 = a - a^{-1} - 3(a^{\frac{1}{3}} - a^{-\frac{1}{3}}) = a - a^{-1} - 3x\)이므로 \(x^3 + 3x = a - a^{-1}\)이 성립한다.

실수 \(x = \sqrt[3]{3} - \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\)에 대하여 다항식 \(P(x) = 3x^3 + 9x\)의 값과 거듭제곱 합을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(x^3 + 3x\)의 값과 \(P(x) = 3x^3 + 9x\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(y = \sqrt[3]{3} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\)이라 할 때, \(y^2 - x^2\)의 값과 \(y^3 - 3y\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \((x + y)^3 + (y - x)^3\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(x^3 + 3x = \dfrac{8}{3},\; P(x) = 8\) | [1-2] \(y^2 - x^2 = 4,\; y^3 - 3y = \dfrac{10}{3}\) | [1-3] \(\dfrac{80}{3}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에서 \(a = 3\)을 대입하면 \(x^3 + 3x = 3 - \dfrac{1}{3}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(x^3 + 3x = \dfrac{8}{3}\)이므로 \(P(x) = 3(x^3 + 3x) = 8\)이다. 또한 \(y^2 - x^2 = 4 \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}} = 4\)이고, \(y^3 - 3y = 3 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{10}{3}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x + y = 2\sqrt[3]{3},\; y - x = \dfrac{2}{\sqrt[3]{3}}\)이므로 \((x + y)^3 + (y - x)^3 = 24 + \dfrac{8}{3} = \dfrac{80}{3}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• \(x^3 + 3x = 3 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{3}\) 유도 +3점 / \(P(x) = 8\) 산출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• \(y^2 - x^2 = 4\) 도출 +3점 / \(y^3 - 3y = \dfrac{10}{3}\) 산출 +4점
소문항 [1-3] (배점 7)	• \(x + y = 2\sqrt[3]{3},\; y - x = \dfrac{2}{\sqrt[3]{3}}\) 정리 +4점 / \(\dfrac{80}{3}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(x = a^{\frac{1}{3}} - a^{-\frac{1}{3}}\)를 그대로 세제곱하여 대입하지 말고 \(x^3 + 3x = a - a^{-1}\) 항등식을 먼저 유도하면 무리수 항이 한 번에 소거됩니다.

[대문항 2] (20점) 삼각함수의 각 변환 공식과 원에 내접하는 정다각형의 합

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 13032 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 여각 공식 \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta\)에 의하여 \(\sin^2\theta + \sin^2\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)이고, \(\tan\theta \cdot \tan\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = 1\)이다.

\(1^\circ\)부터 \(89^\circ\)까지의 각에 대한 삼각함수의 제곱의 합과 로그 합을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\sum_{k=1}^{89} \sin^2(k^\circ)\)의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) \(\sum_{k=1}^{89} \log_{10}(\tan k^\circ)\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 직각삼각형 \(\mathrm{ABC}\;(\angle C = 90^\circ)\)의 나머지 두 내각 \(A, B\)에 대하여 \(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C\)의 값과 \(\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(\dfrac{89}{2}\) | [2-2] \(0\) | [2-3] \(2,\; 1\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(k^\circ\)와 \((90 - k)^\circ\;(1 \le k \le 44)\)를 \(44\)쌍으로 묶고 가운데 항 \(45^\circ\)를 별도로 계산한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\sin^2 k^\circ + \sin^2(90 - k)^\circ = 1\)이므로 \(44\)쌍의 합은 \(44\)이고 \(\sin^2 45^\circ = \dfrac{1}{2}\)이어서 전체 합은 \(\dfrac{89}{2}\)이다. 또한 \(\tan k^\circ \cdot \tan(90 - k)^\circ = 1\)이고 \(\tan 45^\circ = 1\)이므로 진수의 곱이 \(1\)이 되어 로그의 합은 \(\log_{10} 1 = 0\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(A + B = 90^\circ\)이므로 \(\sin^2 A + \sin^2 B = 1\)이고 \(\sin^2 90^\circ = 1\)이므로 첫 번째 합은 \(2\)이다. 마찬가지로 \(\cos^2 A + \cos^2 B = 1,\; \cos^2 90^\circ = 0\)이므로 두 번째 합은 \(1\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• \(44\)쌍 결합(\(44\)) 및 \(\sin^2 45^\circ = \dfrac{1}{2}\) 분리 +4점 / \(\dfrac{89}{2}\) 산출 +2점
소문항 [2-2] (배점 7)	• \(\tan k^\circ \tan(90-k)^\circ = 1\) 적용 +4점 / \(\log_{10} 1 = 0\) 도출 +3점
소문항 [2-3] (배점 7)	• \(A + B = 90^\circ\) 여각 관계 적용 +4점 / \(2\)와 \(1\) 각각 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(1\)부터 \(89\)까지는 홀수 개(\(89\)개)이므로 양 끝에서 짝을 지을 때 정중앙의 \(k = 45\) 항이 혼자 남는다는 점을 놓치지 마십시오.

[대문항 3] (20점) 귀납적 정의(선형 비제차 점화식)와 특성근 치환

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 13033 변형 | 성취기준: 12대수03-06]

<제시문 (가)> 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_{n+1} = p a_n + q\;(p \ne 1)\)를 만족시킬 때, \(\alpha = p\alpha + q\)를 만족시키는 상수 \(\alpha = \dfrac{q}{1 - p}\)를 이용하면 \(a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha)\)가 되어 수열 \(\{a_n - \alpha\}\)는 공비가 \(p\)인 등비수열이다.

어떤 호수에 현재 \(100\,\mathrm{ton}\)의 물이 담겨 있고, 매일 낮 동안 호수의 물의 \(50\%\)가 빠져나간 뒤 밤에 새로 \(40\,\mathrm{ton}\)의 물이 유입된다고 한다. \(n\)일 후 밤이 지난 시점의 호수의 물의 양을 \(a_n\;(\mathrm{ton})\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) \(a_1\)의 값을 구하고, \(a_{n+1}\)과 \(a_n\) 사이의 관계식(귀납적 정의)을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 상수 \(\alpha\)의 값과 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 호수의 물의 양 \(a_n\)이 처음으로 \(80.5\,\mathrm{ton}\) 이하가 되는 것은 며칠 후(\(n\))인지 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(a_1 = 90,\; a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n + 40\) | [3-2] \(\alpha = 80,\; a_n = 80 + 20\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) | [3-3] \(n = 6\)일 후

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 초기량 \(a_0 = 100\)에서 절반이 남고 \(40\)이 더해지므로 \(a_1 = \dfrac{1}{2}(100) + 40 = 90\)이고 \(a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n + 40\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\alpha = \dfrac{1}{2}\alpha + 40 \implies \alpha = 80\)이므로 \(a_{n+1} - 80 = \dfrac{1}{2}(a_n - 80)\)이다. \(a_1 - 80 = 10\)이므로 \(a_n - 80 = 10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = 20\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \implies a_n = 80 + 20\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(80 + 20\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \le 80.5 \iff 20\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \le \dfrac{1}{2} \iff 2^n \ge 40\)이므로 최소 자연수는 \(n = 6\;(2^6 = 64)\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• \(a_1 = 90\) 산출 +2점 / \(a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n + 40\) 수립 +4점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(\alpha = 80\) 도출 +3점 / 일반항 \(a_n = 80 + 20\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) 산출 +4점
소문항 [3-3] (배점 7)	• \(2^n \ge 40\) 부등식 정리 +4점 / \(n = 6\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(a_1 = 90\)이 \(1\)일 후의 값이므로 등비수열의 지수가 \(n\)일 때 첫째항 계수가 \(10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = 20\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)이 되는 지수 번호를 정확히 맞추어야 합니다.

[대문항 4] (20점) 삼차함수 그래프의 변곡 대칭성과 세 접선의 기울기 합

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 13034 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

<제시문 (가)> 곡선 \(y = x^3 + ax^2 + bx + c\) 밖의 한 점 \(\mathrm{P}(p, q)\)에서 곡선에 그은 세 접선의 접점의 \(x\)좌표를 \(t_1, t_2, t_3\)이라 하면, 방정식 \(q - f(t) = f'(t)(p - t)\)를 정리한 삼차방정식의 근과 계수의 관계로부터 \(t_1 + t_2 + t_3\)과 \(\sum t_i t_j\)를 구할 수 있다.

점 \(\mathrm{P}(1, k)\)에서 곡선 \(y = x^3 - 3x\)에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있을 때, 세 접점의 \(x\)좌표를 \(t_1, t_2, t_3\)이라 하자. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 접점 \((t, t^3 - 3t)\)에서의 접선이 점 \(\mathrm{P}(1, k)\)를 조건으로 만족시키는 \(t\)에 대한 삼차방정식을 \(2t^3 - 3t^2 - 3 + k = 0\)으로 유도하시오.

[문항 4-2] (7점) 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 세 접점의 \(x\)좌표의 합 \(t_1 + t_2 + t_3\)과 세 접선의 기울기의 합 \(f'(t_1) + f'(t_2) + f'(t_3)\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(2t^3 - 3t^2 - 3 + k = 0\) 유도 | [4-2] \(3 \lt k \lt 4\) | [4-3] 합 \(\dfrac{3}{2}\), 기울기 합 \(-\dfrac{9}{4}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(t) = t^3 - 3t,\; f'(t) = 3t^2 - 3\)이므로 \(k - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(1 - t)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 정리하면 \(2t^3 - 3t^2 - 3 + k = 0 \iff 2t^3 - 3t^2 - 3 = -k\)이다. 좌변 \(g(t) = 2t^3 - 3t^2 - 3\)에서 \(g'(t) = 6t(t - 1) = 0\)이므로 극댓값 \(g(0) = -3\), 극솟값 \(g(1) = -4\)이다. 서로 다른 세 실근을 가지려면 \(-4 \lt -k \lt -3 \implies 3 \lt k \lt 4\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 근과 계수의 관계에서 \(t_1 + t_2 + t_3 = \dfrac{3}{2},\; t_1 t_2 + t_2 t_3 + t_3 t_1 = 0\)이므로 \(t_1^2 + t_2^2 + t_3^2 = \dfrac{9}{4}\)이다. 따라서 세 기울기의 합은 \(3(t_1^2 + t_2^2 + t_3^2) - 9 = \dfrac{27}{4} - 9 = -\dfrac{9}{4}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• 접선의 방정식에 \((1, k)\) 대입 +3점 / \(2t^3 - 3t^2 - 3 + k = 0\) 유도 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(g(0) = -3,\; g(1) = -4\) 극값 산출 +4점 / \(3 \lt k \lt 4\) 도출 +3점
소문항 [4-3] (배점 7)	• \(t_1+t_2+t_3 = \dfrac{3}{2}\) 도출 +3점 / \(3\sum t_i^2 - 9 = -\dfrac{9}{4}\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 세 접선의 기울기의 합 \(3(t_1^2 + t_2^2 + t_3^2) - 9\)는 \(k\)가 삼차방정식의 상수항에만 들어 있으므로 \(k\)의 값(\(3 \lt k \lt 4\))에 관계없이 항상 일정합니다.

[대문항 5] (20점) 역함수 그래프와 원래 함수 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 13035 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 증가하는 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 그 역함수 \(y = f^{-1}(x)\)의 그래프의 교점은 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = x\)의 교점과 같으며, 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이의 \(2\)배이다.

삼차함수 \(g(x) = x^3 - 2x^2 + 2x\)와 그 역함수 \(g^{-1}(x)\)의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 함수 \(g(x) = x^3 - 2x^2 + 2x\)의 도함수 \(g'(x)\)가 항상 양수임을 보여 역함수 \(g^{-1}(x)\)가 존재함을 증명하고, 곡선 \(y = g(x)\)와 직선 \(y = x\)의 모든 교점의 좌표를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 곡선 \(y = g(x)\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1\)을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 곡선 \(y = g(x)\)와 그 역함수 \(y = g^{-1}(x)\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(g'(x) = 3\left(x - \dfrac{2}{3}\right)^2 + \dfrac{2}{3} \gt 0\), 교점 \((0, 0), (1, 1)\) | [5-2] \(S_1 = \dfrac{1}{12}\) | [5-3] \(S = \dfrac{1}{6}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(g'(x) = 3x^2 - 4x + 2 = 3\left(x - \dfrac{2}{3}\right)^2 + \dfrac{2}{3} \gt 0\)이므로 실수 전체에서 증가하여 역함수가 존재한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(g(x) - x = x^3 - 2x^2 + x = x(x - 1)^2 = 0\)이므로 교점은 \((0, 0), (1, 1)\)이고, \(0 \le x \le 1\)에서 \(g(x) - x \ge 0\)이므로 \(S_1 = \int_{0}^{1} x(x - 1)^2\,dx = \dfrac{1}{12}(1 - 0)^4 = \dfrac{1}{12}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 직선 \(y = x\) 대칭성에 의해 \(y = g(x)\)와 \(y = g^{-1}(x)\)로 둘러싸인 넓이는 \(S = 2S_1 = 2 \times \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{6}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(g'(x) \gt 0\) 증명 +3점 / \(x(x-1)^2 = 0\)으로부터 교점 \((0,0), (1,1)\) 도출 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• \(\int_0^1 (x^3-2x^2+x)\,dx\) 적분 +4점 / \(S_1 = \dfrac{1}{12}\) 산출 +3점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 직선 \(y = x\) 대칭 \(2\)배 원리 적용 +4점 / \(S = \dfrac{1}{6}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(g(x) - x = x(x - 1)^2\)에서 \(x = 1\)이 중근이므로 곡선 \(y = g(x)\)와 직선 \(y = x\)는 점 \((1, 1)\)에서 서로 접합니다.