2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 3회 문제집

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 거듭제곱근의 유리스러운 소거와 이중 지수 방정식

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 13031 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

<제시문 (가)> \(x = a^{\frac{1}{3}} - a^{-\frac{1}{3}}\;(a \gt 1)\)일 때, 양변을 세제곱하면 \(x^3 = a - a^{-1} - 3(a^{\frac{1}{3}} - a^{-\frac{1}{3}}) = a - a^{-1} - 3x\)이므로 \(x^3 + 3x = a - a^{-1}\)이 성립한다.

실수 \(x = \sqrt[3]{3} - \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\)에 대하여 다항식 \(P(x) = 3x^3 + 9x\)의 값과 거듭제곱 합을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(x^3 + 3x\)의 값과 \(P(x) = 3x^3 + 9x\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(y = \sqrt[3]{3} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\)이라 할 때, \(y^2 - x^2\)의 값과 \(y^3 - 3y\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \((x + y)^3 + (y - x)^3\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 삼각함수의 각 변환 공식과 원에 내접하는 정다각형의 합

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 13032 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 여각 공식 \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta\)에 의하여 \(\sin^2\theta + \sin^2\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)이고, \(\tan\theta \cdot \tan\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = 1\)이다.

\(1^\circ\)부터 \(89^\circ\)까지의 각에 대한 삼각함수의 제곱의 합과 로그 합을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\sum_{k=1}^{89} \sin^2(k^\circ)\)의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) \(\sum_{k=1}^{89} \log_{10}(\tan k^\circ)\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 직각삼각형 \(\mathrm{ABC}\;(\angle C = 90^\circ)\)의 나머지 두 내각 \(A, B\)에 대하여 \(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C\)의 값과 \(\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C\)의 값을 각각 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 귀납적 정의(선형 비제차 점화식)와 특성근 치환

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 13033 변형 | 성취기준: 12대수03-06]

<제시문 (가)> 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_{n+1} = p a_n + q\;(p \ne 1)\)를 만족시킬 때, \(\alpha = p\alpha + q\)를 만족시키는 상수 \(\alpha = \dfrac{q}{1 - p}\)를 이용하면 \(a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha)\)가 되어 수열 \(\{a_n - \alpha\}\)는 공비가 \(p\)인 등비수열이다.

어떤 호수에 현재 \(100\,\mathrm{ton}\)의 물이 담겨 있고, 매일 낮 동안 호수의 물의 \(50\%\)가 빠져나간 뒤 밤에 새로 \(40\,\mathrm{ton}\)의 물이 유입된다고 한다. \(n\)일 후 밤이 지난 시점의 호수의 물의 양을 \(a_n\;(\mathrm{ton})\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) \(a_1\)의 값을 구하고, \(a_{n+1}\)과 \(a_n\) 사이의 관계식(귀납적 정의)을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 상수 \(\alpha\)의 값과 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 호수의 물의 양 \(a_n\)이 처음으로 \(80.5\,\mathrm{ton}\) 이하가 되는 것은 며칠 후(\(n\))인지 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 삼차함수 그래프의 변곡 대칭성과 세 접선의 기울기 합

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 13034 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

<제시문 (가)> 곡선 \(y = x^3 + ax^2 + bx + c\) 밖의 한 점 \(\mathrm{P}(p, q)\)에서 곡선에 그은 세 접선의 접점의 \(x\)좌표를 \(t_1, t_2, t_3\)이라 하면, 방정식 \(q - f(t) = f'(t)(p - t)\)를 정리한 삼차방정식의 근과 계수의 관계로부터 \(t_1 + t_2 + t_3\)과 \(\sum t_i t_j\)를 구할 수 있다.

점 \(\mathrm{P}(1, k)\)에서 곡선 \(y = x^3 - 3x\)에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있을 때, 세 접점의 \(x\)좌표를 \(t_1, t_2, t_3\)이라 하자. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 접점 \((t, t^3 - 3t)\)에서의 접선이 점 \(\mathrm{P}(1, k)\)를 조건으로 만족시키는 \(t\)에 대한 삼차방정식을 \(2t^3 - 3t^2 - 3 + k = 0\)으로 유도하시오.

[문항 4-2] (7점) 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 세 접점의 \(x\)좌표의 합 \(t_1 + t_2 + t_3\)과 세 접선의 기울기의 합 \(f'(t_1) + f'(t_2) + f'(t_3)\)의 값을 각각 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 역함수 그래프와 원래 함수 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 13035 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 증가하는 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 그 역함수 \(y = f^{-1}(x)\)의 그래프의 교점은 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = x\)의 교점과 같으며, 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이의 \(2\)배이다.

삼차함수 \(g(x) = x^3 - 2x^2 + 2x\)와 그 역함수 \(g^{-1}(x)\)의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 함수 \(g(x) = x^3 - 2x^2 + 2x\)의 도함수 \(g'(x)\)가 항상 양수임을 보여 역함수 \(g^{-1}(x)\)가 존재함을 증명하고, 곡선 \(y = g(x)\)와 직선 \(y = x\)의 모든 교점의 좌표를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 곡선 \(y = g(x)\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1\)을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 곡선 \(y = g(x)\)와 그 역함수 \(y = g^{-1}(x)\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.