2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 2회 해설집

2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 2회 해설집 | 2회 : 데시벨 상용로그 모델 · 로그함수 평행이동 넓이 · 원뿔 전개도 최단 거리 · 곱함수 미분과 법선 · 정적분 정의 함수의 이계도함수

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 상용로그의 실생활 모델링(소리의 세기와 데시벨)과 로그 차 연산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 탐구 13021 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 소리의 세기가 \(I\;(\mathrm{W/m^2})\)일 때 소리의 크기 \(L\;(\mathrm{dB})\)은 기준 세기 \(I_0 = 10^{-12}\)에 대하여 \(L = 10\log_{10}\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\)으로 정의되며, 두 소리의 크기 차는 \(L_A - L_B = 10\log_{10}\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)\)이다.

두 음원 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)의 소리의 세기를 각각 \(I_A, I_B\), 소리의 크기를 각각 \(L_A, L_B\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(\log_{10} 2 = 0.3\)으로 계산한다.)

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(L_A = 80\,(\mathrm{dB}),\; L_B = 50\,(\mathrm{dB})\)일 때, \(I_A\)는 \(I_B\)의 몇 배인지 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 크기가 \(60\,(\mathrm{dB})\)인 동일한 스피커 \(8\)대를 동시에 작동시킬 때 합쳐진 소리의 세기는 \(1\)대일 때의 \(8\)배가 된다고 한다. 이때 합쳐진 소리의 크기(단위: \(\mathrm{dB}\))를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 소리의 세기가 거리의 제곱에 반비례(\(I(d) = \dfrac{k}{d^2}\))할 때, 음원으로부터의 거리가 \(d_1 = 5\,\mathrm{m}\)에서 \(d_2 = 20\,\mathrm{m}\)로 멀어지면 소리의 크기는 몇 \(\mathrm{dB}\) 감소하는지 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(1000\)배 | [1-2] \(69\,(\mathrm{dB})\) | [1-3] \(12\,(\mathrm{dB})\) 감소

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(L_A - L_B = 10\log_{10}\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)\)에 주어진 수치를 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(80 - 50 = 30 = 10\log_{10}\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)\)에서 \(\dfrac{I_A}{I_B} = 10^3 = 1000\)배이다. 또한 \(8\)대 동시 작동 시 소리의 크기는 \(60 + 10\log_{10} 8 = 60 + 30\log_{10} 2 = 60 + 9 = 69\,(\mathrm{dB})\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 거리가 \(5\,\mathrm{m}\)에서 \(20\,\mathrm{m}\)로 \(4\)배가 되면 소리의 세기는 \(\dfrac{1}{16}\)배가 되므로, 소리 크기의 변화량은 \(10\log_{10}\dfrac{1}{16} = -40\log_{10} 2 = -12\,(\mathrm{dB})\), 즉 \(12\,(\mathrm{dB})\) 감소한다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• \(10\log_{10}(I_A/I_B) = 30\) 수립 +3점 / \(1000\)배 도출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• \(60 + 10\log_{10} 8\) 식 작성 +3점 / \(69\,(\mathrm{dB})\) 산출 +4점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 세기 비 \(\dfrac{1}{16}\) 유도 +3점 / \(12\,(\mathrm{dB})\) 감소 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 로그 차 공식을 쓰면 기준 세기 \(I_0 = 10^{-12}\)가 분모·분자에서 약분되어 계산 과정에 전혀 등장하지 않습니다.

[대문항 2] (20점) 지수함수와 로그함수 위의 삼각형 넓이와 평행이동

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 13022 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 곡선 \(y = \log_2 x\)를 \(x\)축의 방향으로 \(p\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(q\)만큼 평행이동한 곡선은 \(y = \log_2(x - p) + q\)이며, 특히 \(y = \log_2(4x) = \log_2 x + 2\)는 \(y\)축의 방향으로 \(2\)만큼 평행이동한 곡선이다.

두 로그함수 \(C_1 : y = \log_2 x\)와 \(C_2 : y = \log_2(4x)\)의 그래프가 두 세로 직선 \(x = 2,\; x = 8\)과 만나는 네 점을 각각 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) (\(x = 2\) 위의 점)와 \(\mathrm{D}, \mathrm{C}\) (\(x = 8\) 위의 점)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 네 점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}\)의 좌표를 각각 구하고, 선분 \(\mathrm{AB}\)와 \(\mathrm{DC}\)의 길이를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이와 대각선 \(\mathrm{AC}\)의 기울기를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 곡선 \(C_1, C_2\)와 두 세로 직선 \(x = 2,\; x = 8\)로 둘러싸인 곡선 띠 영역의 넓이가 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이와 같음을 평행이동의 성질로 설명하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(\mathrm{A}(2, 1), \mathrm{B}(2, 3), \mathrm{C}(8, 5), \mathrm{D}(8, 3),\; \overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{DC}} = 2\) | [2-2] 넓이 \(12\), 기울기 \(\dfrac{2}{3}\) | [2-3] 평행이동 분할 합동으로 넓이 \(12\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\log_2(4x) = \log_2 x + 2\)에 \(x = 2, 8\)을 각각 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\mathrm{A}(2, 1),\; \mathrm{B}(2, 3),\; \mathrm{D}(8, 3),\; \mathrm{C}(8, 5)\)이므로 \(\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{DC}} = 2\)이다. 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)는 밑변이 \(2\)이고 높이가 \(8 - 2 = 6\)인 평행사변형이므로 넓이는 \(2 \times 6 = 12\)이고, 직선 \(\mathrm{AC}\)의 기울기는 \(\dfrac{5 - 1}{8 - 2} = \dfrac{2}{3}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 곡선 \(C_2\)는 \(C_1\)을 \(y\)축의 방향으로 \(2\)만큼 평행이동한 것이므로, 선분 \(\mathrm{AD}\) 아래로 튀어나온 곡선 부분과 선분 \(\mathrm{BC}\) 위로 파인 곡선 부분이 평행이동에 의해 합동이다. 따라서 둘러싸인 도형의 넓이도 평행사변형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이 \(12\)와 같다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• 네 점 좌표 산출 +4점 / \(\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{DC}} = 2\) 도출 +2점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 넓이 \(2 \times 6 = 12\) 계산 +4점 / 기울기 \(\dfrac{2}{3}\) 도출 +3점
소문항 [2-3] (배점 7)	• \(y\)축 방향 \(2\)만큼 평행이동 합동성 설명 +4점 / 곡선 영역 넓이 \(12\) 결론 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 고등학교 교육과정에서 로그함수의 정적분은 배우지 않으므로, 로그 곡선으로 둘러싸인 넓이는 반드시 평행이동 합동 분할로 직사각형/평행사변형 넓이로 환원하여 구합니다.

[대문항 3] (20점) 원뿔 모선 위 최단 거리(전개도 부채꼴과 코사인법칙)

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 13023 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

<제시문 (가)> 밑면의 반지름의 길이가 \(r\)이고 모선의 길이가 \(l\)인 직원뿔의 옆면을 펼친 전개도는 반지름이 \(l\)이고 호의 길이가 \(2\pi r\)인 부채꼴이므로, 전개도 부채꼴의 중심각의 크기는 \(\theta = \dfrac{2\pi r}{l}\)이다.

밑면의 반지름의 길이가 \(2\)이고 모선의 길이가 \(6\)인 직원뿔에서 밑면의 원주 위의 한 점 \(\mathrm{A}\)에서 출발하여 원뿔의 옆면을 한 바퀴 돌아 모선 \(\mathrm{OA}\)의 중점 \(\mathrm{M}\)에 이르는 최단 거리를 구하고자 한다. (단, \(\mathrm{O}\)는 원뿔의 꼭짓점이다.) 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원뿔의 옆면 전개도인 부채꼴 \(\mathrm{OAA'}\)의 중심각 \(\theta\) (라디안)와 넓이를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 전개도에서 점 \(\mathrm{M}\)은 선분 \(\mathrm{OA'}\)의 중점이 된다. 삼각형 \(\mathrm{OAM}\)에 코사인법칙을 적용하여 최단 거리 \(\overline{\mathrm{AM}}\)을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 꼭짓점 \(\mathrm{O}\)에서 최단 경로 선분 \(\mathrm{AM}\)까지의 거리 \(h\)를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\), 넓이 \(12\pi\) | [3-2] \(\overline{\mathrm{AM}} = 3\sqrt{7}\) | [3-3] \(h = \dfrac{3\sqrt{21}}{7}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 밑면 원주 \(2\pi r = 4\pi\)가 반지름 \(l = 6\)인 부채꼴의 호의 길이와 같다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\theta = \dfrac{4\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{3}\)이고 부채꼴 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 6 \times 4\pi = 12\pi\)이다. 전개도에서 \(\overline{\mathrm{OA}} = 6,\; \overline{\mathrm{OM}} = 3,\; \angle \mathrm{AOM} = \dfrac{2\pi}{3}\)이므로 코사인법칙에 의해 \(\overline{\mathrm{AM}}^2 = 36 + 9 - 2\cdot 6\cdot 3\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 63 \implies \overline{\mathrm{AM}} = 3\sqrt{7}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\triangle \mathrm{OAM} = \dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{9\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{2}\cdot 3\sqrt{7}\cdot h\)이므로 \(h = \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{21}}{7}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• 중심각 \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\) 도출 +3점 / 부채꼴 넓이 \(12\pi\) 산출 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{AM}}^2 = 63\) 유도 +4점 / \(\overline{\mathrm{AM}} = 3\sqrt{7}\) 도출 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 넓이 등식 \(\dfrac{9\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{7}}{2}h\) 설정 +4점 / \(h = \dfrac{3\sqrt{21}}{7}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 곡면 위의 최단 거리는 항상 옆면 전개도를 평면에 펼쳤을 때 두 점을 잇는 선분의 길이와 같습니다.

[대문항 4] (20점) 두 다항함수의 곱의 미분법과 접선의 수직 조건

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 13024 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05]

<제시문 (가)> 미분가능한 두 함수 \(f(x), g(x)\)에 대하여 곱함수 \(h(x) = f(x)g(x)\)의 도함수는 \(h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)이며, 기울기가 \(m_1, m_2\)인 두 직선이 서로 수직이기 위한 필요충분조건은 \(m_1 m_2 = -1\)이다.

미분가능한 두 함수 \(f(x), g(x)\)가 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - 3}{x - 2} = 4,\; \lim_{x \to 2} \dfrac{g(x) + 1}{x - 2} = -2\)를 만족시킬 때, 곱함수 \(h(x) = f(x)g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 두 극한 조건으로부터 \(f(2), f'(2), g(2), g'(2)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(h(2)\)와 \(h'(2)\)의 값을 구하고, 곡선 \(y = h(x)\) 위의 점 \((2, h(2))\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 점 \((2, h(2))\)를 지나고 [문항 4-2]의 접선에 수직인 직선(법선)의 \(y\)절편을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(f(2) = 3,\; f'(2) = 4,\; g(2) = -1,\; g'(2) = -2\) | [4-2] \(h(2) = -3,\; h'(2) = -10,\; y = -10x + 17\) | [4-3] \(-\dfrac{16}{5}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 분모가 \(0\)으로 수렴하므로 분자도 \(0\)으로 수렴하고 극한값은 미분계수가 된다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f(2) = 3,\; f'(2) = 4,\; g(2) = -1,\; g'(2) = -2\)이다. 따라서 \(h(2) = f(2)g(2) = -3\)이고 \(h'(2) = f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = -4 - 6 = -10\)이므로 접선은 \(y = -10(x - 2) - 3 = -10x + 17\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 수직인 직선의 기울기는 \(\dfrac{1}{10}\)이므로 방정식은 \(y = \dfrac{1}{10}(x - 2) - 3 = \dfrac{1}{10}x - \dfrac{16}{5}\)이고, \(y\)절편은 \(-\dfrac{16}{5}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(f(2)=3, f'(2)=4, g(2)=-1, g'(2)=-2\) 도출 +6점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(h(2)=-3, h'(2)=-10\) 산출 +4점 / 접선 \(y = -10x + 17\) 도출 +3점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 법선 기울기 \(\dfrac{1}{10}\) 결정 +3점 / \(y\)절편 \(-\dfrac{16}{5}\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \(\lim_{x \to 2} \dfrac{g(x) + 1}{x - 2}\)에서 분자가 \(g(x) - (-1)\)이므로 \(g(2) = +1\)이 아니라 \(g(2) = -1\)이라는 부호에 주의하십시오.

[대문항 5] (20점) 정적분으로 정의된 함수의 극한과 도함수 테일러 일차 근사

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 탐구 13025 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속함수 \(f(t)\)에 대하여 \(G(x) = \int_{a}^{x} t f(t)\,dt\)라 하면 \(G'(x) = x f(x)\)이므로, \(\lim_{x \to a} \dfrac{1}{x^2 - a^2}\int_{a}^{x} t f(t)\,dt = \dfrac{G'(a)}{2a} = \dfrac{1}{2}f(a)\;(a \ne 0)\)이다.

삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x + 4\)와 함수 \(F(x) = \int_{2}^{x} (x^2 - t^2)f(t)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x^2 - 4}\int_{2}^{x} t f(t)\,dt\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 \(F(x) = x^2\int_{2}^{x} f(t)\,dt - \int_{2}^{x} t^2 f(t)\,dt\)의 도함수 \(F'(x)\)를 구하고, \(F'(2)\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(F''(x)\)를 구하고 \(F''(2)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(3\) | [5-2] \(F'(x) = 2x\int_2^x f(t)\,dt,\; F'(2) = 0\) | [5-3] \(F''(x) = 2\int_2^x f(t)\,dt + 2x f(x),\; F''(2) = 24\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(2) = 8 - 6 + 4 = 6\)이므로 제시문 (가)에 의해 극한값은 \(\dfrac{1}{2}f(2) = 3\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 곱의 미분법을 적용하면 \(F'(x) = 2x\int_{2}^{x} f(t)\,dt + x^2 f(x) - x^2 f(x) = 2x\int_{2}^{x} f(t)\,dt\)이고, \(x = 2\)를 대입하면 \(F'(2) = 0\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 한 번 더 미분하면 \(F''(x) = 2\int_{2}^{x} f(t)\,dt + 2x f(x)\)이므로 \(F''(2) = 0 + 4f(2) = 4 \times 6 = 24\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(f(2) = 6\) 계산 +3점 / 극한값 \(\dfrac{1}{2}f(2) = 3\) 도출 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• \(x^2 f(x)\) 소거로 \(F'(x) = 2x\int_2^x f(t)\,dt\) 유도 +5점 / \(F'(2) = 0\) 산출 +2점
소문항 [5-3] (배점 7)	• \(F''(x) = 2\int_2^x f(t)\,dt + 2xf(x)\) 도출 +4점 / \(F''(2) = 24\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수에 \(x^2 - t^2\)이 들어 있을 때는 반드시 \(x^2\int_2^x f(t)\,dt - \int_2^x t^2 f(t)\,dt\)로 쪼갠 뒤 곱의 미분법을 적용해야 합니다.