2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 2회 문제집

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 상용로그의 실생활 모델링(소리의 세기와 데시벨)과 로그 차 연산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 탐구 13021 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 소리의 세기가 \(I\;(\mathrm{W/m^2})\)일 때 소리의 크기 \(L\;(\mathrm{dB})\)은 기준 세기 \(I_0 = 10^{-12}\)에 대하여 \(L = 10\log_{10}\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\)으로 정의되며, 두 소리의 크기 차는 \(L_A - L_B = 10\log_{10}\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)\)이다.

두 음원 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)의 소리의 세기를 각각 \(I_A, I_B\), 소리의 크기를 각각 \(L_A, L_B\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(\log_{10} 2 = 0.3\)으로 계산한다.)

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(L_A = 80\,(\mathrm{dB}),\; L_B = 50\,(\mathrm{dB})\)일 때, \(I_A\)는 \(I_B\)의 몇 배인지 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 크기가 \(60\,(\mathrm{dB})\)인 동일한 스피커 \(8\)대를 동시에 작동시킬 때 합쳐진 소리의 세기는 \(1\)대일 때의 \(8\)배가 된다고 한다. 이때 합쳐진 소리의 크기(단위: \(\mathrm{dB}\))를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 소리의 세기가 거리의 제곱에 반비례(\(I(d) = \dfrac{k}{d^2}\))할 때, 음원으로부터의 거리가 \(d_1 = 5\,\mathrm{m}\)에서 \(d_2 = 20\,\mathrm{m}\)로 멀어지면 소리의 크기는 몇 \(\mathrm{dB}\) 감소하는지 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 지수함수와 로그함수 위의 삼각형 넓이와 평행이동

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 13022 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 곡선 \(y = \log_2 x\)를 \(x\)축의 방향으로 \(p\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(q\)만큼 평행이동한 곡선은 \(y = \log_2(x - p) + q\)이며, 특히 \(y = \log_2(4x) = \log_2 x + 2\)는 \(y\)축의 방향으로 \(2\)만큼 평행이동한 곡선이다.

두 로그함수 \(C_1 : y = \log_2 x\)와 \(C_2 : y = \log_2(4x)\)의 그래프가 두 세로 직선 \(x = 2,\; x = 8\)과 만나는 네 점을 각각 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) (\(x = 2\) 위의 점)와 \(\mathrm{D}, \mathrm{C}\) (\(x = 8\) 위의 점)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 네 점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}\)의 좌표를 각각 구하고, 선분 \(\mathrm{AB}\)와 \(\mathrm{DC}\)의 길이를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이와 대각선 \(\mathrm{AC}\)의 기울기를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 곡선 \(C_1, C_2\)와 두 세로 직선 \(x = 2,\; x = 8\)로 둘러싸인 곡선 띠 영역의 넓이가 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이와 같음을 평행이동의 성질로 설명하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 원뿔 모선 위 최단 거리(전개도 부채꼴과 코사인법칙)

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 13023 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

<제시문 (가)> 밑면의 반지름의 길이가 \(r\)이고 모선의 길이가 \(l\)인 직원뿔의 옆면을 펼친 전개도는 반지름이 \(l\)이고 호의 길이가 \(2\pi r\)인 부채꼴이므로, 전개도 부채꼴의 중심각의 크기는 \(\theta = \dfrac{2\pi r}{l}\)이다.

밑면의 반지름의 길이가 \(2\)이고 모선의 길이가 \(6\)인 직원뿔에서 밑면의 원주 위의 한 점 \(\mathrm{A}\)에서 출발하여 원뿔의 옆면을 한 바퀴 돌아 모선 \(\mathrm{OA}\)의 중점 \(\mathrm{M}\)에 이르는 최단 거리를 구하고자 한다. (단, \(\mathrm{O}\)는 원뿔의 꼭짓점이다.) 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원뿔의 옆면 전개도인 부채꼴 \(\mathrm{OAA'}\)의 중심각 \(\theta\) (라디안)와 넓이를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 전개도에서 점 \(\mathrm{M}\)은 선분 \(\mathrm{OA'}\)의 중점이 된다. 삼각형 \(\mathrm{OAM}\)에 코사인법칙을 적용하여 최단 거리 \(\overline{\mathrm{AM}}\)을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 꼭짓점 \(\mathrm{O}\)에서 최단 경로 선분 \(\mathrm{AM}\)까지의 거리 \(h\)를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 두 다항함수의 곱의 미분법과 접선의 수직 조건

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 13024 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05]

<제시문 (가)> 미분가능한 두 함수 \(f(x), g(x)\)에 대하여 곱함수 \(h(x) = f(x)g(x)\)의 도함수는 \(h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)이며, 기울기가 \(m_1, m_2\)인 두 직선이 서로 수직이기 위한 필요충분조건은 \(m_1 m_2 = -1\)이다.

미분가능한 두 함수 \(f(x), g(x)\)가 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - 3}{x - 2} = 4,\; \lim_{x \to 2} \dfrac{g(x) + 1}{x - 2} = -2\)를 만족시킬 때, 곱함수 \(h(x) = f(x)g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 두 극한 조건으로부터 \(f(2), f'(2), g(2), g'(2)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(h(2)\)와 \(h'(2)\)의 값을 구하고, 곡선 \(y = h(x)\) 위의 점 \((2, h(2))\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 점 \((2, h(2))\)를 지나고 [문항 4-2]의 접선에 수직인 직선(법선)의 \(y\)절편을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 정적분으로 정의된 함수의 극한과 도함수 테일러 일차 근사

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 탐구 13025 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속함수 \(f(t)\)에 대하여 \(G(x) = \int_{a}^{x} t f(t)\,dt\)라 하면 \(G'(x) = x f(x)\)이므로, \(\lim_{x \to a} \dfrac{1}{x^2 - a^2}\int_{a}^{x} t f(t)\,dt = \dfrac{G'(a)}{2a} = \dfrac{1}{2}f(a)\;(a \ne 0)\)이다.

삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x + 4\)와 함수 \(F(x) = \int_{2}^{x} (x^2 - t^2)f(t)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x^2 - 4}\int_{2}^{x} t f(t)\,dt\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 \(F(x) = x^2\int_{2}^{x} f(t)\,dt - \int_{2}^{x} t^2 f(t)\,dt\)의 도함수 \(F'(x)\)를 구하고, \(F'(2)\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(F''(x)\)를 구하고 \(F''(2)\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.