2027학년도 대비 인하대학교 수리논술 모의고사 1회 해설집

2027학년도 대비 인하대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 로그의 성질과 부분분수 망원급수의 지수 변환

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 13011 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 로그의 성질에 의하여 \(\sum_{k=1}^{n} \log_a f(k) = \log_a \left(\prod_{k=1}^{n} f(k)\right)\)가 성립하며, \(1 - \dfrac{1}{(k + 1)^2} = \dfrac{k(k + 2)}{(k + 1)^2}\)로 인수분해하면 진수의 연쇄 약분을 유도할 수 있다.

\(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \log_2\left(1 - \dfrac{1}{(k + 1)^2}\right)\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 인수분해를 이용하여 진수들의 곱 \(\prod_{k=1}^{n} \dfrac{k(k + 2)}{(k + 1)^2}\)을 \(n\)에 대한 기약분수 꼴로 간단히 정리하시오.

[문항 1-2] (7점) \(S_{15}\)의 값과 \(2^{S_{31}}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 부등식 \(S_n + 1 \lt \log_2\left(1 + \dfrac{1}{24}\right)\)을 만족시키는 최소의 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(\dfrac{n + 2}{2(n + 1)}\) | [1-2] \(S_{15} = \log_2\dfrac{17}{32} = \log_2 17 - 5,\; 2^{S_{31}} = \dfrac{33}{64}\) | [1-3] \(n = 24\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(1 - \dfrac{1}{(k + 1)^2} = \dfrac{k}{k + 1} \cdot \dfrac{k + 2}{k + 1}\)로 변형하여 연쇄 곱을 전개한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\prod_{k=1}^{n} \dfrac{k}{k + 1} \cdot \dfrac{k + 2}{k + 1} = \dfrac{1}{n + 1} \cdot \dfrac{n + 2}{2} = \dfrac{n + 2}{2(n + 1)}\)이다. 따라서 \(S_{15} = \log_2\dfrac{17}{32} = \log_2 17 - 5\)이고, \(2^{S_{31}} = \dfrac{33}{64}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(S_n + 1 = \log_2\left(2 \cdot \dfrac{n + 2}{2(n + 1)}\right) = \log_2\left(1 + \dfrac{1}{n + 1}\right)\)이므로 \(1 + \dfrac{1}{n + 1} \lt 1 + \dfrac{1}{24} \iff n + 1 \gt 24 \implies n \ge 24\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• \(\dfrac{k}{k+1}\cdot\dfrac{k+2}{k+1}\) 분리 +3점 / 연쇄 약분 결과 \(\dfrac{n+2}{2(n+1)}\) 도출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• \(S_{15} = \log_2 17 - 5\) 산출 +3점 / \(2^{S_{31}} = \dfrac{33}{64}\) 도출 +4점
소문항 [1-3] (배점 7)	• \(S_n + 1 = \log_2\left(1 + \dfrac{1}{n+1}\right)\) 정리 +4점 / 최소 자연수 \(n = 24\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(1 - \dfrac{1}{(k+1)^2}\)을 통분한 뒤 합차 공식 \((k+1)-1 = k\)와 \((k+1)+1 = k+2\)로 쪼개면 이웃한 항끼리 분모·분자가 교차 약분됩니다.

[대문항 2] (20점) 지수함수와 로그함수 그래프 위의 격자점(정수점) 개수

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 13012 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 좌표평면에서 두 곡선과 직선으로 둘러싸인 영역(경계 포함)에 속하는 점 \((x, y)\) 중 \(x, y\)가 모두 정수인 점(격자점)의 개수는 \(x = k\) (또는 \(y = m\))를 고정하여 세로선(또는 가로선) 위의 정수 개수를 합산하여 구한다.

자연수 \(n\;(1 \le n \le 4)\)에 대하여 부등식 \(1 \le x \le 2^n\)과 \(0 \le y \le \log_2 x\)를 동시에 만족시키는 좌표평면 위의 점 \((x, y)\) 중 \(x, y\)가 모두 정수인 점의 개수를 \(A(n)\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(n = 2\)일 때 가능한 정수 \(y\)의 값을 모두 구하고, 각 \(y\)에 대하여 조건을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수를 세어 \(A(2)\)의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 제시문 (가)의 가로선(\(y = m\), \(0 \le m \le n\)) 기준 분류를 이용하여 \(A(n)\)을 \(n\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 2-3] (7점) \(A(4)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(y = 0, 1, 2,\; A(2) = 8\) | [2-2] \(A(n) = (n - 1)2^n + n + 2\) | [2-3] \(54\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(0 \le y \le \log_2 x \le n\)이고 \(x \le 2^n\)이므로 정수 \(y = m\;(0 \le m \le n)\)을 고정하면 \(2^m \le x \le 2^n\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 각 \(m\)에 대하여 정수 \(x\)의 개수는 \(2^n - 2^m + 1\)개이다. \(n = 2\)일 때 \(m = 0, 1, 2\)에서 각각 \(4, 3, 1\)개이므로 \(A(2) = 8\)이다. 일반항은 \(A(n) = \sum_{m=0}^{n} (2^n - 2^m + 1) = (n + 1)(2^n + 1) - (2^{n+1} - 1) = (n - 1)2^n + n + 2\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(n = 4\)를 대입하면 \(A(4) = 3 \times 16 + 4 + 2 = 54\)이다. (검산: \(m = 0,1,2,3,4\)일 때 \(16 + 15 + 13 + 9 + 1 = 54\)).

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• \(y = 0, 1, 2\)별 개수 \(4, 3, 1\) 산출 +4점 / \(A(2) = 8\) 도출 +2점
소문항 [2-2] (배점 7)	• \(\sum_{m=0}^n (2^n - 2^m + 1)\) 수립 +4점 / \(A(n) = (n-1)2^n + n + 2\) 유도 +3점
소문항 [2-3] (배점 7)	• \(n = 4\) 대입 또는 \(m=0..4\) 합산 +4점 / \(A(4) = 54\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 로그함수 \(y = \log_2 x\) 아래의 격자점을 셀 때 세로선 \(x = k\) 기준으로 세면 가우스 합이 되지만, 가로선 \(y = m\) 기준으로 세면 \(2^m \le x \le 2^n\)이 되어 단순한 등비수열의 합으로 풀립니다.

[대문항 3] (20점) 삼각함수의 그래프와 직선의 교점의 대칭성 및 산술합

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 13013 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

<제시문 (가)> 점 \((a, 0)\)에 대하여 점대칭인 두 함수 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)의 그래프가 유한개의 점에서 만나면, 모든 교점의 \(x\)좌표들도 \(x = a\)에 대하여 대칭으로 쌍을 이룬다.

함수 \(f(x) = \sin(\pi x)\)의 그래프와 직선 \(y = \dfrac{2}{7}(x - 2)\)가 만나는 모든 교점의 개수와 교점들의 \(x\)좌표의 합을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 함수 \(f(x) = \sin(\pi x)\)의 주기를 구하고, 직선 \(y = \dfrac{2}{7}(x - 2)\)가 점 \((2, 0)\)을 지나며 \(-1 \le y \le 1\)이 되는 \(x\)의 범위를 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 두 그래프가 만나는 서로 다른 모든 교점의 개수 \(N\)을 구하고, 그 이유를 구간별로 나누어 서술하시오.

[문항 3-3] (7점) 제시문 (가)의 대칭성을 이용하여 모든 교점의 \(x\)좌표의 총합을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] 주기 \(2,\; -\dfrac{3}{2} \le x \le \dfrac{11}{2}\) | [3-2] \(N = 7\)개 | [3-3] \(14\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(x) = \sin(\pi x)\)의 주기는 \(\dfrac{2\pi}{\pi} = 2\)이고, \(-1 \le \dfrac{2}{7}(x - 2) \le 1 \iff -\dfrac{3}{2} \le x \le \dfrac{11}{2}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 두 그래프 모두 점 \((2, 0)\)에 대하여 점대칭이다. \(x = 2\)에서 \(1\)개 만나고, \(2 \lt x \le \dfrac{11}{2} = 5.5\) 구간에서 \([2, 3]\) 반주기는 원점 교점 \(x = 2\)뿐이며(기울기 \(\dfrac{2}{7} \lt \pi\)), \((2, 3)\)에 \(1\)개, \([4, 5]\) 위로 볼록한 산 봉우리에서 \(2\)개 만나 우측에 \(3\)개, 대칭으로 좌측 \(-\dfrac{3}{2} \le x \lt 2\)에 \(3\)개 만나므로 총 \(N = 3 + 1 + 3 = 7\)개이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(7\)개의 교점이 \(x = 2\)에 대하여 대칭이므로 모든 \(x\)좌표의 총합은 \(7 \times 2 = 14\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• 주기 \(2\) 도출 +2점 / 치역 제한 범위 \(-\dfrac{3}{2} \le x \le \dfrac{11}{2}\) 산출 +4점
소문항 [3-2] (배점 7)	• 우측 \(3\)개·중심 \(1\)개·좌측 \(3\)개 구간별 교점 확인 +4점 / \(N = 7\) 도출 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 점 \((2, 0)\) 점대칭 쌍 결합 논증 +4점 / 총합 \(7 \times 2 = 14\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(x = \dfrac{9}{2} = 4.5\)에서 \(\sin(4.5\pi) = 1\)이고 직선의 함숫값은 \(\dfrac{5}{7} \lt 1\)이므로 구간 \([4, 5]\)에서 반드시 \(2\)번 만납니다.

[대문항 4] (20점) 가우스 함수와 다항함수의 곱·합성 연속성

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 13014 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 최대정수함수 \([x]\)는 모든 정수 \(x = n\)에서 \(\lim_{x \to n-} [x] = n - 1,\; \lim_{x \to n+} [x] = n\)이므로 불연속이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = [x]^2 + (ax + b)[x]\)가 \(x = 1\)과 \(x = 2\)에서 모두 연속일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이고 \([x]\)는 \(x\)보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(x = 1\)에서 함수 \(f(x)\)의 좌극한과 우극한(함숫값)을 각각 구하고 첫 번째 관계식을 세우시오.

[문항 4-2] (7점) \(x = 2\)에서의 좌극한과 우극한을 비교하여 두 번째 관계식을 세우고, 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 구한 \(a, b\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 \(x = 3\)에서 연속인지 불연속인지 좌극한과 우극한을 구하여 판정하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] 좌극한 \(0\), 우극한 \(1 + a + b \implies a + b = -1\) | [4-2] \(a = -2,\; b = 1\) | [4-3] 좌극한 \(-6\), 우극한 \(-6\)으로 \(x = 3\)에서도 연속

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(x \to 1-\)일 때 \([x] = 0\)이고, \(x \to 1+\)일 때 \([x] = 1\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(x = 1\)에서 좌극한 \(0 = \) 우극한 \(1 + a + b \implies a + b = -1\)이다. \(x = 2\)에서 좌극한(\([x] = 1\))은 \(1 + 2a + b\)이고 우극한(\([x] = 2\))은 \(4 + 2(2a + b)\)이므로 \(2a + b = -3\)이다. 연립하면 \(a = -2,\; b = 1\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(f(x) = [x]^2 + (-2x + 1)[x]\)에서 \(x = 3\)일 때 좌극한(\([x] = 2\))은 \(4 + (-5)(2) = -6\)이고 우극한(\([x] = 3\))은 \(9 + (-5)(3) = -6 = f(3)\)이므로 모든 정수(특히 \(x = 3\))에서도 연속이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(x = 1\) 좌극한 \(0\), 우극한 \(1+a+b\) 도출 +4점 / \(a + b = -1\) 수립 +2점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(x = 2\) 조건 \(2a + b = -3\) 유도 +4점 / \(a = -2, b = 1\) 산출 +3점
소문항 [4-3] (배점 7)	• \(x = 3\) 좌·우극한 \(-6\) 계산 +4점 / 연속 판정 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(a = -2, b = 1\)이면 \(x = n\)에서의 좌극한 \((n-1)^2 + (1-2n)(n-1) = -n(n-1)\)과 우극한 \(n^2 + (1-2n)n = -n(n-1)\)이 항등적으로 같아져 실수 전체에서 연속이 됩니다.

[대문항 5] (20점) 사차함수의 이중접선과 둘러싸인 도형의 넓이

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 13015 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 사차함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 직선 \(y = mx + n\)과 서로 다른 두 점 \(x = \alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)\)에서 동시에 접하면 \(f(x) - (mx + n) = a(x - \alpha)^2(x - \beta)^2\) 꼴로 인수분해되며, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(\int_{\alpha}^{\beta} |a|(x - \alpha)^2(x - \beta)^2\,dx = \dfrac{|a|}{30}(\beta - \alpha)^5\)이다.

사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2x + 1\)의 그래프에 서로 다른 두 점에서 동시에 접하는 직선(이중접선)을 \(l : y = mx + n\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(f(x) - (mx + n) = (x - \alpha)^2(x - \beta)^2\;(\alpha \lt \beta)\)으로 놓고 계수를 비교하여 두 접점의 \(x\)좌표 \(\alpha, \beta\)와 직선 \(l\)의 방정식을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) \(x = 1\)에서의 함숫값 \(f(1)\)과 점 \((1, f(1))\)에서의 접선의 기울기 \(f'(1)\)을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 곡선 \(y = f(x)\)와 이중접선 \(l\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(\alpha = 0,\; \beta = 2,\; y = 2x + 1\) | [5-2] \(f(1) = 4,\; f'(1) = 2\) | [5-3] \(\dfrac{16}{15}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \((x - \alpha)^2(x - \beta)^2 = \{x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\}^2\)을 전개하여 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2x + 1\)과 계수를 비교한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 삼차항에서 \(-2(\alpha + \beta) = -4 \implies \alpha + \beta = 2\), 이차항에서 \((\alpha + \beta)^2 + 2\alpha\beta = 4 \implies \alpha\beta = 0\)이므로 \(\alpha = 0,\; \beta = 2\)이다. 이때 \(x^2(x - 2)^2 = x^4 - 4x^3 + 4x^2\)이므로 \(f(x) - x^2(x - 2)^2 = 2x + 1\)이어서 이중접선은 \(y = 2x + 1\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 곡선과 이중접선으로 둘러싸인 넓이는 \(\int_{0}^{2} x^2(x - 2)^2\,dx = \dfrac{1}{30}(2 - 0)^5 = \dfrac{16}{15}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	인하대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(\alpha + \beta = 2,\; \alpha\beta = 0\)으로부터 \(\alpha = 0, \beta = 2\) 도출 +3점 / \(y = 2x + 1\) 산출 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 중점 \(x = 1\)에서 \(f(1) - (2(1)+1) = 1\) 이용 +4점 / \(f(1) = 4\) 산출 +3점
소문항 [5-3] (배점 7)	• \(\int_0^2 x^2(x-2)^2\,dx\) 계산 +4점 / 넓이 \(\dfrac{16}{15}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 이중접선을 구할 때 미분을 직접 하지 않고 \(f(x) = (x^2 + px + q)^2 + mx + n\)으로 완전제곱식 나눗셈을 수행하면 접점과 접선이 동시에 구해집니다.